Sucesión aritmética

Daniel Machado · Actualizado el 30/10/2025

Una sucesión o progresión aritmética es una lista ordenada de números en la que cada término, luego del primero, se obtiene sumando o restando una cantidad fija al término anterior. Esta cantidad constante se conoce como diferencia común y se simboliza habitualmente con la letra d.

Algunos ejemplos de sucesiones con progresión aritmética son:

2, 4, 6, 8, 10, … es una sucesión aritmética con una diferencia común d = 2. Cada término se obtiene sumando 2 al anterior, por lo que es una progresión creciente e infinita.
En la sucesión 5, 10, 15, 20, 25, … la diferencia es d = 5. Se trata de los múltiplos positivos de 5, que aumentan de forma constante.
20, 15, 10, 5, 0, -5, … es un ejemplo de progresión aritmética decreciente, donde la diferencia es d = -5. Cada término es 5 unidades menor que el anterior.
La sucesión -3, -6, -9, -12, -15, … tiene una diferencia negativa d = -3. Todos sus términos son múltiplos negativos de 3 y la sucesión es decreciente.
0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; … muestra una progresión aritmética con diferencia d = 0,5, un número con decimales.

De forma recursiva podemos escribir una progresión aritmética con primer término a₁ y diferencia d de esta forma:

a₁, a_n = a_n-1 + d (para n ≥ 2)

Así, los términos son:

a₁

a₂ = a₁ + d

a₃ = a₂ + d

a₄ = a₃ + d

…

a_n = a_n-1 + d

a_n+1 = a_n + d

…

Despejando d obtenemos la fórmula para calcular la diferencia de la sucesión:

d = a_n+1 - a_n

Es decir, la diferencia común es igual a la resta de cualquier término y su antecesor. Así, si en una sucesión este número no es constante para cualquier par de términos consecutivos, podemos concluir que la sucesión no es aritmética.

La diferencia fundamental entre una secuencia aritmética y una geométrica es la operación que define su patrón: en la aritmética, cada término se obtiene sumando una constante llamada diferencia, mientras que en la geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón (por ejemplo: 3, 6, 12, 24... donde la razón es 2).

Índice

Tipos de progresiones aritméticas

La forma más común de clasificar a las secuencias aritméticas es por su monotonía, es decir, si son crecientes, decrecientes o constantes. Esto depende exclusivamente del valor de la diferencia común d.

Sucesión creciente (d > 0): cuando la diferencia es un número positivo, cada término será mayor que el anterior, por lo que la progresión siempre crece (a_n+1> a_n). Un ejemplo es la sucesión 5, 9, 13, 17, …, donde la diferencia es d = 4.
Sucesión decreciente (d < 0): si la diferencia es un número negativo, cada término será menor que el anterior, haciendo que la sucesión descienda de valor (a_n+1< a_n). Por ejemplo, en la sucesión 10, 7, 4, 1, -2, …, la diferencia es d = -3.
Sucesión constante (d = 0): cuando la diferencia es cero, no hay cambio entre un término y el siguiente, todos los términos son idénticos (a_n+1= a_n), como se ve en la sucesión 4, 4, 4, 4, …

Fórmula del término general

Si se quisiera calcular, por ejemplo, el término 100 de una sucesión aritmética, sería muy poco práctico tener que calcular los 99 términos anteriores. Este problema se soluciona teniendo una fórmula explícita para el término general, que permita obtener cualquier término directamente a partir de su posición en la secuencia.

La fórmula del término general de una sucesión aritmética es la siguiente:

a_n= a₁+ (n - 1) ⋅ d

donde:

a₁ es el primer término de la sucesión.
d es la diferencia común.
n es la posición del término que se quiere encontrar.

Esta fórmula nos permite calcular directamente el valor de cualquier término en la progresión, sin necesidad de calcular todos los términos anteriores, simplemente conociendo el primer elemento y la diferencia común.

Ejemplo 1

Consideremos la progresión aritmética 7, 11, 15, 19, … Determinemos su regla general y calculemos el décimo término. Primero, identificamos que el primer elemento es *a_1=7* y la diferencia constante la obtenemos restando términos consecutivos: *d=11-7=4.* Sustituimos estos valores en la fórmula del término n-ésimo:

*a_n=7+(n-1) \cdot 4=7+4n-4=4n+3*

Esta expresión, *a_n=4n+3,* es la fórmula general de la sucesión. Para hallar el décimo elemento, simplemente evaluamos para *n=10:*

*a_{10}=4 \cdot 10+3=43*

Ejemplo 2

Dada la progresión -5, -2, 1, 4, ..., vamos a deducir su patrón general y a calcular el decimoquinto término. Calculamos la diferencia restando términos consecutivos: *d=-2-(-5)=3.* Con *a_1=-5* y *d=3,* aplicamos la fórmula:

*a_n=-5+(n-1) \cdot 3=-5+3n-3=3n-8*

La expresión algebraica de la sucesión es *a_n=3n-8.* Ahora, buscamos el término en la posición 15:

*a_{15}=3 \cdot 15-8=45-8=37*

Ejemplo 3

Encontremos el n-ésimo término de una progresión aritmética cuyo primer término es 1 y su diferencia es 6. Aplicamos directamente la fórmula general con *a_1=1* y *d=6:*

*a_n=1+(n-1) \cdot 6=1+6n-6=6n-5*

Así, la expresión algebraica para cualquier término es *a_n=6n-5.* Utilizamos esta regla para hallar el duodécimo término:

*a_{12}=6 \cdot 12-5=72-5=67*

Ejemplo 4

Analicemos la sucesión aritmética 20, 15, 10, 5, 0, -5, ... Nuestro objetivo es hallar su fórmula general y calcular su noveno término. Comenzamos identificando el primer elemento, que es *a_1=20.* Para encontrar la diferencia común, restamos el segundo término del primero: *d=15-20=-5.* Al ser la diferencia un número negativo, confirmamos que se trata de una progresión aritmética decreciente.

Sustituimos *a_1=20* y *d=-5* en la fórmula del término n-ésimo:

*a_n=20+(n-1) \cdot (-5)=20-5n+5=25-5n*

La regla general de esta sucesión es, por lo tanto, *a_n=25-5n.* Utilizamos esta expresión para calcular el valor del noveno término:

*a_9=25-5 \cdot 9=25-45=-20*

El noveno elemento de esta secuencia es -20.

Ejemplo 5

Supongamos que tenemos la sucesión definida por la regla *a_n=3n+2.* Verifiquemos que es aritmética y encontremos su vigésimo término. Al observar la fórmula, notamos que tiene la forma *d \cdot n+(a_1-d),* lo que confirma que es una progresión aritmética. El coeficiente de *n* es 3, por lo que la diferencia común es *d=3.* Para calcular el vigésimo elemento, sustituimos *n=20* en la regla:

*a_{20}=3 \cdot 20+2=62*

El término que ocupa la posición veinte es 62.

Ejemplo 6

Conocemos dos términos de una progresión aritmética: *a_3=14* y *a_7=30.* Buscamos determinar la regla general de la sucesión. La diferencia entre el séptimo y el tercer término es de 4 posiciones (7-3 = 4), y la diferencia de valor es *30-14=16.* Por lo tanto, la diferencia común es *d=16/4=4.* Usamos el tercer término para encontrar el primero:

*a_3=a_1+(3-1) \cdot 4 → 14=a_1+8 → a_1=6*

Ya podemos escribir la fórmula del término n-ésimo:

*a_n=6+(n-1) \cdot 4=4n+2*

La regla general que buscamos es *a_n=4n+2.*

Demostración de la fórmula general

Para comprender cómo surge la fórmula explícita *a_n=a_1+(n-1) \cdot d,* analicemos el patrón que se genera al construir los primeros términos de la sucesión a partir del primer término *a_1* y la diferencia común *d.*

Partimos del primer término:

*a_1=a_1*

Para obtener el segundo término, sumamos la diferencia d al primero:

*a_2=a_1+d*

El tercer término se obtiene sumando d al segundo:

*a_3=a_2+d=(a_1+d)+d=a_1+2d*

Continuamos con el cuarto término:

*a_4=a_3+d=(a_1+2d)+d=a_1+3d*

Si observamos atentamente este patrón, notamos que el coeficiente que multiplica a d es siempre una unidad menor que la posición del término. Es decir:

Para el término 1, el coeficiente es 0.
Para el término 2, el coeficiente es 1.
Para el término 3, el coeficiente es 2.
Para el término 4, el coeficiente es 3.

Generalizando este patrón, para el término n-ésimo, el coeficiente de d será n - 1. Por lo tanto, la expresión general queda establecida como:

*a_n=a_1+(n-1) \cdot d*

Para una verificación formal de que este patrón se cumple para todos los números naturales n, podemos emplear el método de inducción matemática.

Paso base (n = 1): para el primer término, la fórmula es:

*a_1=a_1+(1-1) \cdot d=a_1+0=a_1*

Se cumple trivialmente.

Paso inductivo: supongamos que la fórmula es válida para un término k cualquiera; es decir, suponemos como hipótesis de inducción que:

*a_k=a_1+(k-1) \cdot d*

Ahora, debemos demostrar que la fórmula también se cumple para el término k + 1. Por la definición recursiva de una progresión aritmética, sabemos que:

*a_{k+1}=a_k+d*

Sustituimos nuestra hipótesis de inducción en esta ecuación:

*a_{k+1}=(a_1+(k-1) \cdot d )+d*

*a_{k+1}=a_1+(k-1)d+d*

*a_{k+1}=a_1+k \cdot d*

*a_{k+1}=a_1+\left((k+1)-1 \right) \cdot d*

Este último resultado muestra que la fórmula sí se cumple para el término k + 1. Habiendo verificado el paso base y el paso inductivo, concluimos que la fórmula del término general

*a_n=a_1+(n-1) \cdot d*

es válida para todo número natural n ≥ 1.

Si observamos con detenimiento, podemos reescribir la fórmula del término general para revelar su naturaleza lineal. Al desarrollar la expresión:

*a_n=a_1+(n-1) \cdot d=d \cdot n+(a_1-d)*

Esta forma se asemeja directamente a la ecuación de una función lineal de la forma *y=mx+b,* donde la diferencia común *d* actúa como la pendiente y el término independiente *(a_1-d)* como la ordenada en el origen. Precisamente debido a esta similitud estructural y a su representación gráfica como puntos de una línea recta, a las sucesiones aritméticas también se les conoce como sucesiones lineales.

Suma de los términos

Cuando sumamos los términos de una progresión aritmética, el resultado recibe el nombre de serie aritmética. Calcular este resultado sumando todos los elementos uno a uno puede ser una tarea muy larga. Afortunadamente, existe una fórmula que nos permite hallar la suma de los primeros n términos de manera directa.

La fórmula fundamental para la suma S_n de los primeros n términos de una progresión aritmética es:

*S_n=\dfrac{n \cdot (a_1+a_n)}{2}*

donde a₁es el primer término y a_n es el último. Esta expresión nos indica que la suma es igual al número de términos n multiplicado por el promedio entre el primer y el último término de la serie.

La lógica detrás de esta fórmula es la siguiente: en cualquier progresión aritmética finita, la suma de dos términos que equidistan de los extremos es constante. Por ejemplo, la suma del primer y último término (a₁+ a_n) es igual a la suma del segundo y el penúltimo (a₂ + a_n-1), y así sucesivamente. Al emparejar todos los términos de esta forma, obtenemos n/2 pares, cada uno de los cuales suma a₁+ a_n. De ahí surge directamente la fórmula.

Para aquellos casos en los que no conocemos el valor del último término a_n, pero sí disponemos del primer término a₁ y la diferencia común d, resulta muy práctica una segunda fórmula que se obtiene al sustituir la expresión del término general *a_n=a_1+(n-1) \cdot d* dentro de la primera fórmula de la suma:

*S_n=\dfrac{n \cdot (a_1+a_n)}{2}*

*S_n=\dfrac{n \cdot \left(a_1+\left[ a_1+(n-1)d \right] \right)}{2}*

*S_n=\dfrac{n \cdot \left(2a_1+(n-1)d \right)}{2}*

Por lo tanto, la fórmula alternativa para la suma de los primeros n términos cuando conocemos a₁ y d es:

*S_n=\dfrac{n \cdot \left[ 2a_1+(n-1)d \right]}{2}*

Ejemplo 1

Calcular la suma de los primeros 12 términos de la progresión aritmética: 3, 7, 11, 15, ...

Solución

Primero identificamos los elementos necesarios para la fórmula de la sumatoria de la progresión aritmética. El primer término es *a_1=3,* la diferencia común es *d=7-3=4.* Necesitamos el duodécimo término, que calculamos con la fórmula general:

*a_{12}=3+(12-1)\cdot 4=3+44=47*

Ahora aplicamos la fórmula para sumar términos de una sucesión aritmética:

*S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}*

*S_{12}=\dfrac{12 \cdot (3+47)}{2}=\dfrac{12 \cdot 50}{2}=300*

La suma parcial de los primeros 12 términos de esta sucesión aritmética es 300.

Ejemplo 2

Encontrar la suma de los primeros 20 términos de una sucesión aritmética donde el primer término es 8 y la diferencia común es -2.

Solución

En este caso, conocemos *a_1=8* y *d=-2,* pero no el último término. Utilizamos la fórmula de la suma de progresión aritmética que involucra directamente la diferencia:

*S_n=\dfrac{n \cdot [2a_1+(n-1)d]}{2}*

Sustituimos los valores para *n=20:*

*S_{20}=\dfrac{20 \cdot [2\cdot8+(20-1)\cdot(-2)]}{2}=\dfrac{20 \cdot [16+19\cdot(-2)]}{2}*

*S_{20}=\dfrac{20 \cdot [16-38]}{2}=\dfrac{20 \cdot (-22)}{2}=-220*

La sumatoria de los primeros 20 términos da como resultado -220.

Ejemplo 3

Hallar la suma de los primeros 50 números enteros positivos.

Solución

Este es un problema clásico de suma de términos de una sucesión aritmética. La secuencia es 1, 2, 3, ..., 50, que es una progresión aritmética con *a_1=1*, *a_n=50* y *n=50.* Aplicamos la primera fórmula para sumar términos:

*S_{50}=\dfrac{50 \cdot (1+50)}{2}=\dfrac{50 \cdot 51}{2}=25 \cdot 51=1275*

Podemos generalizar este resultado para cualquier n. La fórmula para la suma de los primeros n enteros positivos es:

*S_n=1+2+3+ ... +n=\dfrac{n(n+1)}{2}*

Ejemplo 4

Determinar la suma de los primeros 15 términos de una progresión aritmética cuyo cuarto término es 12 y su noveno término es 27.

Solución

Primero debemos encontrar *a_1* y *d.* Entre el cuarto y noveno término hay 5 posiciones y una diferencia de valor de *27-12=15.* Por lo tanto, la diferencia común es *d=15/5=3.* Usamos el cuarto término para hallar *a_1:*

*a_4=a_1+(4-1)\cdot 3 → 12=a_1+9 → a_1=3*

Ahora que conocemos *a_1=3* y *d=3,* usamos la fórmula de la sumatoria de una sucesión aritmética:

*S_{15}=\dfrac{15 \cdot [2\cdot3+(15-1)\cdot3]}{2}=\dfrac{15 \cdot [6+42]}{2}=\dfrac{15 \cdot 48}{2}=360*

La suma de los primeros 15 términos es 360.

Ejemplo 5

Calcular la suma de los primeros 8 términos de la sucesión aritmética definida por la regla general *a_n=10-3n.*

Solución

Para usar la fórmula de la suma de progresión aritmética, necesitamos el primer y el último término. Calculamos *a_1* y *a_8:*

*a_1=10-3\cdot 1=7*

*a_8=10-3\cdot 8=10-24=-14*

Ahora aplicamos la fórmula de la suma:

*S_8=\dfrac{8 \cdot (7+(-14))}{2}=\dfrac{8 \cdot (-7)}{2}=-28*

La sumatoria de los primeros 8 términos de esta sucesión decreciente es -28.

Ejemplo 6

Una persona ahorra $30 la primera semana y decide aumentar su ahorro semanal en $5 constantemente. ¿Cuál será su ahorro total acumulado al cabo de un año (52 semanas)?

Solución

Modelamos esta situación con una progresión aritmética donde *a_1=30* y *d=5.* Queremos hallar la suma de los primeros 52 términos. Usamos la fórmula de la suma de términos de una sucesión aritmética:

*S_{52}=\dfrac{52 \cdot [2\cdot30+(52-1)\cdot5]}{2}=\dfrac{52 \cdot [60+255]}{2}*

*S_{52}=\dfrac{52 \cdot 315}{2}=26 \cdot 315=8190*

El ahorro total acumulado después de 52 semanas será de $8190. Este es un ejemplo de aplicación de las progresiones aritméticas en la vida cotidiana.