Subsucesiones

Daniel Machado · Actualizado el 26/09/2025

Una subsucesión, también llamada sucesión parcial o subsecuencia, es una nueva sucesión que se forma a partir de una sucesión original seleccionando infinitos de sus términos, pero sin alterar el orden en el que aparecen. Podemos imaginar que vamos "tachando" algunos términos de la sucesión inicial, pero siempre nos quedamos con una cantidad infinita de ellos respetando estrictamente la secuencia original.

Para ilustrarlo, consideremos la sucesión de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...). A partir de ella, podemos extraer infinitas subsucesiones. Por ejemplo:

La subsucesión de los números pares: (2, 4, 6, 8, 10, ...).
La sucesión parcial de los números impares: (1, 3, 5, 7, 9, ...).
La subsecuencia de las potencias de 2: (2, 4, 8, 16, 32, ...).

En todos estos casos, el orden original de la sucesión de los números naturales se conserva por completo, pues los elementos aparecen en el mismo orden progresivo en el que estaban en la sucesión madre. Si intentamos crear una secuencia como (3, 2, 1, 6, 5, 4, ...), esta no sería una subsucesión válida de los números naturales, ya que se ha alterado el orden original de los elementos.

Índice

Definición formal

Sea *(a_n)_{n \in \mathbb{N}}* una sucesión de números reales. Una subsucesión de *(a_n)* es cualquier sucesión de la forma *(a_{n_k})_{k \in \mathbb{N}},* donde *(n_k)_{k \in \mathbb{N}}* es una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Es decir, los índices *n_k* cumplen:

*n_1<n_2<n_3<\dots<n_k<n_{k+1}<\dots*

La sucesión de índices n_k actúa como una función de selección: para cada posición k en la nueva subsucesión, n_k nos indica de qué índice de la sucesión original a_n proviene el término.

La condición de ser estrictamente creciente *(n_1<n_2<n_3<\dots)* garantiza que:

Se respeta el orden original: si un término a_i aparece antes que a_j en a_n, y ambos son seleccionados, entonces a_i también aparecerá antes que a_j en la subsucesión.
La selección avanza indefinidamente: la subsucesión no puede "estancarse" en una posición finita de la sucesión original; eventualmente debe saltar a un índice mayor, por lo que la subsucesión tendrá infinitos términos. También, no se repiten términos de la misma posición.

En notación funcional, se puede pensar que existe una aplicación *\varphi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}* estrictamente creciente (es decir, *\varphi(k)=n_k*) que define la subsucesión como *(a_{\varphi(k)}).*

Por ejemplo, si tenemos la sucesión *(a_n)=(a_1, a_2, a_3, a_4, \dots),* entonces:

*(a_{2k})=(a_2, a_4, a_6, \dots)* es una subsucesión de índices pares.
*(a_{2k-1})=(a_1, a_3, a_5, \dots)* es una subsecuencia de índices impares.
*(a_{k^2})=(a_1, a_4, a_9, a_{16}, \dots)* es una subsucesión de los índices que son cuadrados perfectos de los naturales.
*(a_3, a_1, a_4, \dots)* no es una subsucesión, porque el orden de los índices *(3, 1, 4, \dots)* no es creciente y, por lo tanto, no respeta el orden original.

Ejemplos

Consideremos la sucesión definida por la fórmula general *a_n=\dfrac{1}{n},* cuyos primeros términos son:

*(a_n)=\left(1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{6}, \dots \right)*

Definimos una sucesión de índices como *n_k=2k.* Esta elección representa los números naturales pares *(2, 4, 6, 8, \dots),* que forman una sucesión estrictamente creciente. Al aplicar esta selección a la sucesión original, obtenemos la subsucesión *(a_{n_k})=(a_{2k}),* que consiste en tomar el recíproco de cada índice par. Los términos de esta subsucesión son:

*\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{8}, \dots, \dfrac{1}{2k}, \dots \right)*

Esta sucesión, al igual que la original, converge a cero, pero avanza tomando saltos de dos en dos en la sucesión de partida.

Ahora, consideremos la sucesión de índices *n_k=2k-1.* Esta genera los números naturales impares *(1, 3, 5, 7, \dots),* que también es una sucesión estrictamente creciente. La subsucesión correspondiente *(a_{n_k})=(a_{2k-1})* se forma al seleccionar los términos que ocupan las posiciones impares en *(a_n).* Los términos de esta subsucesión son:

*\left(\dfrac{1}{1}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{7}, \dots, \dfrac{1}{2k-1}, \dots \right)*

Aunque los valores numéricos de sus términos son ligeramente mayores que los de la subsucesión de los pares para la misma k, su comportamiento asintótico es idéntico: converge a cero.

Para obtener una selección con saltos más pronunciados, elegimos la sucesión de índices *n_k=k^3.* Los índices *(1, 8, 27, 64, \dots)* crecen mucho más rápido que la sucesión de los números naturales y cumplen la condición de ser estrictamente crecientes. La subsucesión *(a_{n_k})=(a_{k^3})* resulta de tomar solo los términos cuyos índices son cubos perfectos. Los términos de esta subsucesión son:

*\left(\dfrac{1}{1}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{27}, \dfrac{1}{64}, \dots, \dfrac{1}{k^3}, \dots\right)*

La rapidez con la que aumentan los denominadores hace que esta subsucesión converja a cero mucho más rápido que las dos anteriores.

Un tipo de subsucesión es la llamada cola m-ésima de una sucesión, que consiste en remover los primeros m términos. Dada una sucesión (a_n) y un número natural m, la cola m se define como la subsucesión que se obtiene al eliminar los primeros m términos de la sucesión original. Formalmente, la cola *m* es *(a_{n_k})* donde *n_k=m+k.* Esta elección de índices *(m+1, m+2, m+3, \dots)* es claramente estrictamente creciente. La nueva sucesión es:

*(a_{m+1}, a_{m+2}, a_{m+3}, \dots)*

Ejemplo

Tomemos la sucesión *a_n=\dfrac{n}{n+1}* y construyamos su cola para *m=3.* La sucesión original es:

*(a_n)=\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{5}{6}, \dfrac{6}{7}, \dots \right)*

La cola 3 de esta sucesión omite los primeros tres términos *\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4} \right)* y comienza en el índice *n_k=3+k.* Así, para *k=1*, *n_1=4;* para *k=2*, *n_2=5,* y así sucesivamente. La subsucesión resultante es:

*(a_{3+k})=\left(a_4, a_5, a_6, \dots \right)=\left(\dfrac{4}{5}, \dfrac{5}{6}, \dfrac{6}{7}, \dots \right)*

Propiedades de las subsucesiones

A continuación, presentaremos las propiedades y teoremas fundamentales que rigen el comportamiento de las subsucesiones. Estos resultados proveen herramientas para analizar la convergencia de sucesiones.

Conservación del límite

Las subsucesiones heredan el límite de la sucesión original, es decir, si una sucesión converge a un número, cualquier selección infinita de sus términos debe acercarse inevitablemente al mismo número.

Teorema: sea *(a_n)* una sucesión de números reales que converge a un límite *L.* Entonces, cualquier subsucesión *(a_{n_k})* de *(a_n)* también converge a *L.*

Demostración

Supongamos que *\lim_{n \to ∞} a_n=L.* Por la definición de límite, para todo *ε>0,* existe un número natural *N \in \mathbb{N}* tal que para todo *n ≥ N,* se cumple que *|a_n-L|<ε.*

Ahora, consideremos una subsucesión arbitraria *(a_{n_k}),* donde *(n_k)* es una sucesión estrictamente creciente de índices. Dado que los índices *n_k* son números naturales y crecen infinitamente, debe existir un *K \in \mathbb{N}* tal que *n_K ≥ N.* Debido a que la sucesión de índices es creciente, para todo *k ≥ K* se tendrá que *n_k ≥ n_K ≥ N.*

Por lo tanto, para todo *k ≥ K,* el término *a_{n_k}* es uno de los términos *a_n* con *n ≥ N.* En consecuencia, se cumple que *|a_{n_k}-L|<ε.* Esto prueba que para todo *ε>0* existe un *K \in \mathbb{N}* tal que si *k ≥ K,* entonces *|a_{n_k}-L|<ε,* lo cual significa precisamente que *\lim_{k \to ∞} a_{n_k}=L*.

El teorema de conservación del límite también es válido para sucesiones que divergen a infinito o menos infinito. Es decir, si una sucesión *(a_n)* cumple que *\lim_{n \to ∞} a_n=+∞* (o *-∞*), entonces toda subsucesión *(a_{n_k})* también divergirá a *+∞* (o *-∞,* respectivamente). La demostración sigue un razonamiento análogo al caso convergente.

Es importante destacar que el recíproco del teorema no es cierto: el hecho de que una subsucesión particular sea convergente no garantiza que la sucesión original se comporte de la misma manera. Una sucesión puede ser divergente y aún así contener subsucesiones convergentes. En cambio, si una subsucesión diverge a infinito, podemos asegurar que la sucesión original también es divergente, pero no podemos garantizar el tipo de divergencia (podría ser al infinito o por oscilación).

Criterio de divergencia

Hemos visto que si una sucesión converge a un límite L, entonces todas sus subsucesiones también convergen a ese mismo límite L. Esta propiedad nos proporciona una herramienta muy útil para demostrar que una sucesión no converge: basta con encontrar dos subsucesiones que converjan a límites diferentes.

Este resultado se conoce como el criterio de divergencia por subsucesiones y su enunciado formal es el siguiente:

Sea *(a_n)* una sucesión. Si existen dos subsucesiones *(a_{n_k})* y *(a_{m_k})* tales que

*\lim_{k \to ∞} a_{n_k}=L \quad \text{y} \quad \lim_{k \to ∞} a_{m_k}=M*

con *L ≠ M,* entonces la sucesión original *(a_n)* es divergente.

Una estrategia común para aplicar este criterio es examinar las subsucesiones formadas por los términos de índice par (*a_{2k}*) y los de índice impar (*a_{2k-1}*). Si estas dos subsucesiones convergen a valores diferentes, podemos concluir inmediatamente que la sucesión es divergente.

Ejemplo

Analicemos la sucesión definida por *a_n=(-1)^n.*

Si escribimos sus primeros términos, obtenemos: *-1, 1,-1, 1,-1, \dots.* Es intuitivo ver que la sucesión oscila entre -1 y 1. Para demostrar rigurosamente que no converge, consideramos dos subsucesiones naturales.

La subsucesión de los términos pares es *a_{2k}=(-1)^{2k}=1,* que es una sucesión constante y, por lo tanto, converge a 1. Por otro lado, la subsucesión de los términos impares es *a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1,* que converge a -1.

Dado que hemos encontrado dos subsucesiones que convergen a límites distintos (1 y -1), concluimos que la sucesión original *(-1)^n* es divergente.

Acotación

Si una sucesión está acotada, cualquier subsucesión de ella también está acotada. Esto es porque si una sucesión está confinada dentro de un rango de valores, cualquier selección infinita de sus términos permanecerá dentro de esos mismos límites.

Teorema: si una sucesión *(a_n)* es acotada, entonces cualquier subsucesión *(a_{n_k})* de *(a_n)* también es acotada.

Demostración

Si *(a_n)* es acotada, existen números reales *m* y *M* tales que para todo *n \in \mathbb{N}* se cumple:

*m ≤ a_n ≤ M*

Consideremos ahora una subsucesión arbitraria *(a_{n_k}).* Como los índices *n_k* son elementos de *\mathbb{N},* para cada *k* se verifica que el término *a_{n_k}* es uno de los términos *a_n* de la sucesión original. Por lo tanto, para todo *k \in \mathbb{N}* tenemos:

*m ≤ a_{n_k} ≤ M*

Esto demuestra que la subsucesión *(a_{n_k})* está acotada por los mismos números *m* y *M* que la sucesión original.

Es crucial notar que el recíproco no es cierto: que una subsucesión particular esté acotada no implica que la sucesión completa lo esté.

Monotonía

Las subsucesiones heredan la monotonía de la sucesión original, esto significa que si una sucesión a_n es monótona (ya sea creciente o decreciente), entonces todas sus subsucesiones también serán monótonas del mismo tipo.

Por ejemplo, si tenemos una sucesión creciente donde cada término es mayor o igual que el anterior *(a_1 ≤ a_2 ≤ a_3 ≤ \ldots),* al elegir índices en orden estrictamente creciente *n_1<n_2<n_3<\ldots,* los términos correspondientes de la subsucesión *(a_{n_k})* mantendrán esta relación. Dado que *n_k<n_{k+1},* se cumple que *a_{n_k} ≤ a_{n_{k+1}},* por lo que la subsucesión es automáticamente creciente. El mismo razonamiento se aplica para sucesiones decrecientes.

Existe un teorema que asegura que toda sucesión de números reales contiene una subsucesión monótona. La sucesión original puede ser convergente, divergente o no estar acotada, pero siempre es posible extraer de ella una sucesión parcial creciente o decreciente.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

El teorema de Bolzano-Weierstrass asegura que toda sucesión acotada de números reales posee una subsucesión convergente.

La demostración de este teorema se basa en un resultado previo que hemos visto: toda sucesión de números reales contiene una subsucesión monótona.

Demostración

Sea *(a_n)* una sucesión acotada. Por lo tanto, existen números reales *m* y *M* tales que *m ≤ a_n ≤ M* para todo *n \in \mathbb{N}.* Por el teorema de la subsucesión monótona, sabemos que *(a_n)* contiene una subsucesión *(a_{n_k})* que es monótona (ya sea creciente o decreciente).

Dado que la sucesión original *(a_n)* está acotada, esta subsucesión monótona *(a_{n_k})* también está acotada (está contenida en el mismo intervalo *[m, M]*). Aplicamos ahora el teorema de convergencia de sucesiones monótonas: una sucesión monótona y acotada es convergente. Por lo tanto, la subsucesión *(a_{n_k})* es convergente.

Es interesante notar la relación con el comportamiento opuesto: si una sucesión no está acotada, entonces no podemos asegurar que tenga una subsucesión convergente; de hecho, podemos afirmar algo más fuerte: toda sucesión no acotada posee una subsucesión que diverge a infinito o a menos infinito. Por ejemplo, si la sucesión no está acotada superiormente, podemos elegir términos *a_{n_k}* tales que *a_{n_k}>k* para cada *k,* lo que garantiza que *a_{n_k} \to+∞.*

Veamos ahora un par de ejemplos que ilustran el teorema.

Ejemplo 1

Retomemos la sucesión *a_n=(-1)^n,* que sabemos está acotada (*-1 ≤ a_n ≤ 1*). El Teorema de Bolzano-Weierstrass nos asegura que existe al menos una subsucesión convergente. De hecho, ya hemos identificado dos: la subsucesión de los términos pares, *a_{2k}=1,* que converge a 1, y la subsucesión de los términos impares, *a_{2k-1}=-1,* que converge a -1. Este es un caso donde la sucesión original no converge, pero su acotación nos permite encontrar subsucesiones que sí lo hacen.

Ejemplo 2

Consideremos la sucesión *b_n=\sin(n).* Esta sucesión también está acotada, ya que *-1 ≤ \sin(n) ≤ 1* para todo *n.* A simple vista, su comportamiento es muy irregular. Sin embargo, el Teorema de Bolzano-Weierstrass nos garantiza que, sin necesidad de calcularla explícitamente, existe al menos una subsucesión *(b_{n_k})* que converge a algún número real en el intervalo *[-1, 1].* Aunque los valores de *\sin(n)* "saltan" aparentemente sin orden, la acotación fuerza a que infinitos de sus términos se acumulen alrededor de algún punto límite.

Bibliografía

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