Ejercicios resueltos de sucesiones numéricas

La sucesión tiene término general \(a_n=2n+5.\) Este nos indica una regla simple: para cada posición \(n,\) multiplicamos por 2 y luego sumamos 5.

Para obtener los primeros cinco términos debemos sustituir \(n\) por los valores 1, 2, 3, 4 y 5.

Así, para \(n=1\) tenemos

\(a_1=2\cdot 1+5=2+5=7\)

Para \(n=2:\)

\(a_2=2\cdot 2+5=4+5=9\)

Luego, seguimos con los demás valores:

\(a_3=2\cdot 3+5=6+5=11\)

\(a_4=2\cdot 4+5=8+5=13\)

\(a_5=2\cdot 5+5=10+5=15\)

Por lo tanto, los primeros cinco términos de la sucesión son 7, 9, 11, 13, 15. Observamos que se trata de una progresión aritmética con diferencia 2, pues cada término se obtiene sumando dos al anterior.

Para obtener los primeros cinco términos de la sucesión \(a_n=5+(-1)^n\) sustituimos \(n\) por \(1, 2, 3, 4, 5.\) Cuando \(n\) es impar, \((-1)^n=-1;\) cuando es par, \((-1)^n=1.\) Así, calculamos:

\(a_1=5+(-1)^1=5-1=4\)

\(a_2=5+(-1)^2=5+1=6\)

\(a_3=5+(-1)^3=5-1=4\)

\(a_4=5+(-1)^4=5+1=6\)

\(a_5=5+(-1)^5=5-1=4\)

Por tanto, los cinco primeros términos son 4, 6, 4, 6, 4. Observamos que la sucesión oscila entre 4 y 6 según la paridad de \(n.\)

La sucesión \(a_n=3^n\) crece rápidamente. Hallamos los primeros términos reemplazando \(n\) por 1, 2, 3, 4, 5:

\(a_1=3^1=3\)

\(a_2=3^2=9\)

\(a_3=3^3=27\)

\(a_4=3^4=81\)

\(a_5=3^5=243\)

Así, los términos son 3, 9, 27, 81, 243, formando una progresión geométrica de razón 3, ya que cada término se obtiene multiplicando por 3 el anterior.

Para \(a_n=\dfrac{(-1)^n}{n},\) determinamos los valores para \(n=1,2,3,4,5:\)

\(a_1=\dfrac{(-1)^1}{1}=-1\)

\(a_2=\dfrac{(-1)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

\(a_3=\dfrac{(-1)^3}{3}=-\dfrac{1}{3}\)

\(a_4=\dfrac{(-1)^4}{4}=\dfrac{1}{4}\)

\(a_5=\dfrac{(-1)^5}{5}=-\dfrac{1}{5}\)

Los primeros cinco términos son \(-1,\) \(\dfrac{1}{2},\) \(-\dfrac{1}{3},\) \(\dfrac{1}{4},\) \(-\dfrac{1}{5}.\) La sucesión alterna signos y sus valores absolutos decrecen.

En \(a_n=\dfrac{2n}{n+3}\) sustituimos \(n=1,2,3,4,5\) y simplificamos:

\(a_1=\dfrac{2\cdot 1}{1+3}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\)

\(a_2=\dfrac{4}{2+3}=\dfrac{4}{5}\)

\(a_3=\dfrac{6}{3+3}=\dfrac{6}{6}=1\)

\(a_4=\dfrac{8}{4+3}=\dfrac{8}{7}\)

\(a_5=\dfrac{10}{5+3}=\dfrac{10}{8}=\dfrac{5}{4}\)

Obtenemos \(\dfrac{1}{2},\) \(\dfrac{4}{5},\) \(1,\) \(\dfrac{8}{7},\) \(\dfrac{5}{4}.\)

Para \(a_n=\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n\) calculamos las potencias sucesivas. Observamos que el signo alterna según \(n\) par o impar:

\(a_1=\left(-\dfrac{1}{4}\right)^1=-\dfrac{1}{4}\)

\(a_2=\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2=\dfrac{1}{16}\)

\(a_3=\left(-\dfrac{1}{4}\right)^3=-\dfrac{1}{64}\)

\(a_4=\left(-\dfrac{1}{4}\right)^4=\dfrac{1}{256}\)

\(a_5=\left(-\dfrac{1}{4}\right)^5=-\dfrac{1}{1024}\)

Así, los términos son \(-\dfrac{1}{4},\) \(\dfrac{1}{16},\) \(-\dfrac{1}{64},\) \(\dfrac{1}{256},\) \(-\dfrac{1}{1024},\) una sucesión geométrica de razón \(-\dfrac{1}{4}.\)

Hallamos \(a_n=\sin\dfrac{n\pi}{2}\) para \(n=1,2,3,4,5.\) Recordamos los valores del seno en los ángulos \(\dfrac{\pi}{2},\) \(\pi,\) \(\dfrac{3\pi}{2},\) \(2\pi,\) \(\dfrac{5\pi}{2}:\)

\(a_1=\sin\dfrac{\pi}{2}=1\)

\(a_2=\sin\pi=0\)

\(a_3=\sin\dfrac{3\pi}{2}=-1\)

\(a_4=\sin 2\pi=0\)

\(a_5=\sin\dfrac{5\pi}{2}=\sin\left(2\pi+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\dfrac{\pi}{2}=1\)

Por tanto, los primeros términos son 1, 0, -1, 0, 1.

Para \(a_n=\dfrac{(-1)^{n(n+1)/2}}{n^2}\) primero evaluamos el exponente del \(-1\) para cada \(n:\)

\(n=1:\) \(\dfrac{1\cdot 2}{2}=1,\) \((-1)^1=-1,\) \(a_1=\dfrac{-1}{1^2}=-1\)

\(n=2:\) \(\dfrac{2\cdot 3}{2}=3,\) \((-1)^3=-1,\) \(a_2=\dfrac{-1}{4}=-\dfrac{1}{4}\)

\(n=3:\) \(\dfrac{3\cdot 4}{2}=6,\) \((-1)^6=1,\) \(a_3=\dfrac{1}{9}\)

\(n=4:\) \(\dfrac{4\cdot 5}{2}=10,\) \((-1)^{10}=1,\) \(a_4=\dfrac{1}{16}\)

\(n=5:\) \(\dfrac{5\cdot 6}{2}=15,\) \((-1)^{15}=-1,\) \(a_5=\dfrac{-1}{25}=-\dfrac{1}{25}\)

Los primeros cinco términos son \(-1,\) \(-\dfrac{1}{4},\) \(\dfrac{1}{9},\) \(\dfrac{1}{16},\) \(-\dfrac{1}{25}.\)

En \(a_n=5-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}\) reemplazamos \(n=1,2,3,4,5:\)

\(a_1=5-1+1=5\)

\(a_2=5-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=5-\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}=5-\dfrac{1}{4}=\dfrac{20}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{19}{4}\)

\(a_3=5-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}=5-\dfrac{3}{9}+\dfrac{1}{9}=5-\dfrac{2}{9}=\dfrac{45}{9}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{43}{9}\)

\(a_4=5-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}=5-\dfrac{4}{16}+\dfrac{1}{16}=5-\dfrac{3}{16}=\dfrac{80}{16}-\dfrac{3}{16}=\dfrac{77}{16}\)

\(a_5=5-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{25}=5-\dfrac{5}{25}+\dfrac{1}{25}=5-\dfrac{4}{25}=\dfrac{125}{25}-\dfrac{4}{25}=\dfrac{121}{25}\)

Obtenemos \(5,\) \(\dfrac{19}{4},\) \(\dfrac{43}{9},\) \(\dfrac{77}{16},\) \(\dfrac{121}{25}.\)

Para \(a_n=\dfrac{3^n}{n!}\) necesitamos los factoriales de 1 a 5: \(1!=1,\) \(2!=2,\) \(3!=6,\) \(4!=24,\) \(5!=120.\) Calculamos:

\(a_1=\dfrac{3^1}{1!}=\dfrac{3}{1}=3\)

\(a_2=\dfrac{3^2}{2!}=\dfrac{9}{2}\)

\(a_3=\dfrac{3^3}{3!}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}\)

\(a_4=\dfrac{3^4}{4!}=\dfrac{81}{24}=\dfrac{27}{8}\)

\(a_5=\dfrac{3^5}{5!}=\dfrac{243}{120}=\dfrac{81}{40}\)

Los primeros términos son \(3,\) \(\dfrac{9}{2},\) \(\dfrac{9}{2},\) \(\dfrac{27}{8},\) \(\dfrac{81}{40},\) alcanzando un máximo en \(n=2\) y \(n=3\) y luego decreciendo.

Partimos de \(a_1=3\) y aplicamos la regla \(a_n=2(a_{n-1}-1)\) para \(n=2,3,4,5,6:\)

\(a_2=2(3-1)=2\cdot 2=4\)

\(a_3=2(4-1)=2\cdot 3=6\)

\(a_4=2(6-1)=2\cdot 5=10\)

\(a_5=2(10-1)=2\cdot 9=18\)

\(a_6=2(18-1)=2\cdot 17=34\)

Los términos que siguen al primero son 4, 6, 10, 18, 34.

Con \(a_1=4\) y \(a_n=\dfrac{n+1}{2}\,a_{n-1}\) obtenemos:

\(a_2=\dfrac{2+1}{2}\cdot 4=\dfrac{3}{2}\cdot 4=6\)

\(a_3=\dfrac{3+1}{2}\cdot 6=\dfrac{4}{2}\cdot 6=2\cdot 6=12\)

\(a_4=\dfrac{4+1}{2}\cdot 12=\dfrac{5}{2}\cdot 12=30\)

\(a_5=\dfrac{5+1}{2}\cdot 30=\dfrac{6}{2}\cdot 30=3\cdot 30=90\)

\(a_6=\dfrac{6+1}{2}\cdot 90=\dfrac{7}{2}\cdot 90=315\)

Los cinco términos siguientes a \(a_1\) son 6, 12, 30, 90, 315.

Dado \(a_1=1\) y \(a_n=\dfrac{1}{1+a_{n-1}}:\)

\(a_2=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\)

\(a_3=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}\)

\(a_4=\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{3}}=\dfrac{1}{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{3}{5}\)

\(a_5=\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{5}}=\dfrac{1}{\dfrac{8}{5}}=\dfrac{5}{8}\)

\(a_6=\dfrac{1}{1+\dfrac{5}{8}}=\dfrac{1}{\dfrac{13}{8}}=\dfrac{8}{13}\)

Así, los cinco términos posteriores al primero son \(\dfrac{1}{2},\) \(\dfrac{2}{3},\) \(\dfrac{3}{5},\) \(\dfrac{5}{8},\) \(\dfrac{8}{13}.\)

Con \(a_1=6\) y \(a_n=\dfrac{a_{n-1}^2}{3}:\)

\(a_2=\dfrac{6^2}{3}=\dfrac{36}{3}=12\)

\(a_3=\dfrac{12^2}{3}=\dfrac{144}{3}=48\)

\(a_4=\dfrac{48^2}{3}=\dfrac{2304}{3}=768\)

\(a_5=\dfrac{768^2}{3}=\dfrac{589824}{3}=196608\)

\(a_6=\dfrac{196608^2}{3}=\dfrac{38654705664}{3}=12884901888\)

Los términos que siguen al inicial son 12, 48, 768, 196608, 12884901888.

Partimos de \(a_1=1\) y \(a_2=2\) y usamos \(a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}:\)

\(a_3=a_2+2a_1=2+2\cdot 1=2+2=4\)

\(a_4=a_3+2a_2=4+2\cdot 2=4+4=8\)

\(a_5=a_4+2a_3=8+2\cdot 4=8+8=16\)

\(a_6=a_5+2a_4=16+2\cdot 8=16+16=32\)

\(a_7=a_6+2a_5=32+2\cdot 16=32+32=64\)

Los cinco términos que siguen a los dos iniciales son 4, 8, 16, 32, 64. Observamos que, a partir del tercero, cada término duplica al anterior.

Observamos la sucesión 2, 4, 8, 16, … Cada término se obtiene multiplicando el anterior por 2, lo que indica una progresión geométrica con razón \(r=2.\) El primer término es \(a_1=2.\)

Para una progresión geométrica, el término general es \(a_n=a_1\cdot r^{\,n-1}.\) Sustituyendo obtenemos:

\(a_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n\)

Verificamos la fórmula con los primeros términos:

Para \(n=1:\) \(2^1=2\)

Para \(n=2:\) \(2^2=4\)

Para \(n=3:\) \(2^3=8\)

La expresión \(a_n=2^n\) reproduce correctamente la sucesión.

La sucesión 1, 4, 7, 10,… presenta una diferencia constante entre términos consecutivos:

\(4-1=3,\quad 7-4=3,\quad 10-7=3\)

Por tanto, es una progresión aritmética con primer término \(a_1=1\) y diferencia \(d=3.\)

El término general de una progresión aritmética es \(a_n=a_1+(n-1)d.\) Sustituyendo:

\(a_n=1+(n-1)\cdot 3=1+3n-3=3n-2\)

Comprobamos:

Para \(n=1:\) \(3\cdot 1-2=1\)

Para \(n=2:\) \(3\cdot 2-2=4\)

Para \(n=3:\) \(3\cdot 3-2=7\)

La fórmula \(a_n=3n-2\) es válida.

Analizamos la sucesión \(1,\ \dfrac{3}{4},\ \dfrac{5}{9},\ \dfrac{7}{16},\ \dfrac{9}{25},\ldots\)

Los numeradores son 1, 3, 5, 7, 9,… que corresponden a los números impares. Podemos expresar un número impar cualquiera como \(2n-1.\)

Los denominadores son 1, 4, 9, 16, 25,… que son los cuadrados perfectos, es decir, \(n^2.\)

Así, el término general resulta:

\(a_n=\dfrac{2n-1}{n^2}\)

Verificamos:

Para \(n=1:\) \(\dfrac{2\cdot 1-1}{1^2}=\dfrac{1}{1}=1\)

Para \(n=2:\) \(\dfrac{3}{4}\)

Para \(n=3:\) \(\dfrac{5}{9}\)

La expresión genera correctamente la sucesión.

La sucesión 0, 2, 0, 2, 0, 2,… alterna entre 0 para las posiciones impares y 2 para las pares.

Buscamos una expresión que tome el valor 2 cuando \(n\) es par y 0 cuando \(n\) es impar. Observamos que \(1+(-1)^n\) cumple esa condición:

Si \(n\) es par, \((-1)^n=1\) y \(1+1=2.\)

Si \(n\) es impar, \((-1)^n=-1\) y \(1-1=0.\)

Por tanto:

\(a_n=1+(-1)^n\)

Comprobamos:

Para \(n=1:\) \(1+(-1)^1=0\)

Para \(n=2:\) \(1+1=2\)

Para \(n=3:\) \(1+(-1)=0\)

La fórmula reproduce el patrón.

La sucesión de fracciones \(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9},-\dfrac{1}{27}, \dfrac{1}{81},\ldots\) tiene términos que alternan signo y cuyos valores absolutos son potencias de \(\dfrac{1}{3}.\)

Observamos:

El primer término es \(-\dfrac{1}{3}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^1\)

El segundo es \(\dfrac{1}{9}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2\)

El tercero es \(-\dfrac{1}{27}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3\)

Se trata de una progresión geométrica con primer término \(a_1=-\dfrac{1}{3}\) y razón \(r=-\dfrac{1}{3}.\) El término general es:

\(a_n=a_1\cdot r^{\,n-1}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)\cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n\)

Verificamos:

Para \(n=1:\) \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^1=-\dfrac{1}{3}\)

Para \(n=2:\) \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}\)

Para \(n=3:\) \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3=-\dfrac{1}{27}\)

La fórmula es correcta.

La sucesión 5, –25, 125, –625,… alterna signo y los valores absolutos son potencias de 5: \(5^1, 5^2, 5^3, 5^4,\ldots\) El signo es positivo para las posiciones impares y negativo para las pares.

Podemos conseguir la alternancia de signo mediante \((-1)^{n-1},\) que vale 1 para \(n\) impar y –1 para \(n\) par. Multiplicando por \(5^n\) obtenemos:

\(a_n=(-1)^{n-1}\cdot 5^n\)

Comprobamos:

Para \(n=1:\) \((-1)^0\cdot 5^1=5\)

Para \(n=2:\) \((-1)^1\cdot 5^2=-25\)

Para \(n=3:\) \((-1)^2\cdot 5^3=125\)

La expresión genera la sucesión deseada.

En la sucesión \(\dfrac{3}{4},\ \dfrac{4}{5},\ \dfrac{5}{6},\ \dfrac{6}{7},\ldots\) observamos que tanto el numerador como el denominador aumentan en una unidad respecto al término anterior.

Para el término \(n\) -ésimo, el numerador es \(n+2\) y el denominador es \(n+3.\) Así:

\(a_n=\dfrac{n+2}{n+3}\)

Verificamos:

Para \(n=1:\) \(\dfrac{1+2}{1+3}=\dfrac{3}{4}\)

Para \(n=2:\) \(\dfrac{4}{5}\)

Para \(n=3:\) \(\dfrac{5}{6}\)

La expresión es correcta.

Analizamos la sucesión \(\dfrac{7}{2},\ 4,\ \dfrac{9}{2},\ 5,\ldots\) Escribimos todos los términos con denominador 2 para identificar el patrón:

\(\dfrac{7}{2},\ \dfrac{8}{2},\ \dfrac{9}{2},\ \dfrac{10}{2},\ldots\)

Los numeradores forman la sucesión 7, 8, 9, 10,… que corresponde a \(n+6\) (pues para \(n=1\) obtenemos 7, para \(n=2\) obtenemos 8, etcétera). Por tanto:

\(a_n=\dfrac{n+6}{2}\)

Comprobamos:

Para \(n=1:\) \(\dfrac{7}{2}\)

Para \(n=2:\) \(\dfrac{8}{2}=4\)

Para \(n=3:\) \(\dfrac{9}{2}=4,5\)

Para \(n=4:\) \(\dfrac{10}{2}=5\)

La fórmula genera correctamente la sucesión.

Analizamos la sucesión \(a_n=(-2)^{n+1}\) para determinar su monotonía y acotación.

Comenzamos escribiendo los primeros términos para tener una pista del comportamiento:

\(a_1=(-2)^{2}=4\)

\(a_2=(-2)^{3}=-8\)

\(a_3=(-2)^{4}=16\)

\(a_4=(-2)^{5}=-32\)

\(a_5=(-2)^{6}=64\)

Observamos que los términos alternan el signo: los de índice impar son positivos y los de índice par son negativos. Además, los valores absolutos crecen rápidamente: \(4, 8, 16, 32, 64,\ldots\) En valor absoluto, la sucesión es creciente, pero al alternar signo no podemos decir que la sucesión original sea creciente ni decreciente en sentido estricto. Por ejemplo, \(a_1=4\) es mayor que \(a_2=-8,\) pero \(a_2=-8\) es menor que \(a_3=16.\) La sucesión no cumple \(a_n ≤ a_{n+1}\) para todo \(n\) (creciente) ni \(a_n ≥ a_{n+1}\) para todo \(n\) (decreciente). Por tanto, es no monótona.

En cuanto a la acotación, los términos en valor absoluto toman valores cada vez más grandes: \(|a_n|=2^{n+1}.\) Esta expresión tiende a infinito cuando \(n\) crece. Por ello, la sucesión no está acotada superiormente ni inferiormente: para \(n\) impar grande, \(a_n\) es positivo y muy grande; para \(n\) par grande, \(a_n\) es negativo y muy grande en valor absoluto. Así, concluimos que la sucesión no está acotada.

Estudiamos la sucesión \(a_n=\dfrac{n}{n^2+1}.\)

Para determinar su monotonía, analizamos la diferencia entre términos consecutivos o el cociente, pero también podemos estudiar el comportamiento de la función asociada \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\) para \(x≥ 1.\)

Calculamos los primeros términos:

\(a_1=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}=0,5\)

\(a_2=\dfrac{2}{4+1}=\dfrac{2}{5}=0,4\)

\(a_3=\dfrac{3}{9+1}=\dfrac{3}{10}=0,3\)

\(a_4=\dfrac{4}{16+1}=\dfrac{4}{17}≈0,2353\)

\(a_5=\dfrac{5}{25+1}=\dfrac{5}{26}≈0,1923\)

Parece que los términos decrecen. Para confirmarlo, podemos considerar la diferencia \(a_{n+1}-a_n\) y vemos su signo. Pero tenemos otra forma más sencilla: estudiamos la función \(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}.\)

Su derivada es

\(f'(x)=\dfrac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\)

Para \(x>1,\) \(f'(x)<0,\) lo que indica que la función es decreciente a partir de \(x=1.\) Como la sucesión son los valores de \(f\) en los enteros positivos, resulta que \(a_n\) es decreciente para \(n≥ 1.\) Comprobamos con \(a_1>a_2>a_3>\ldots\) Así, la sucesión es decreciente (estrictamente).

En cuanto a la acotación, al ser decreciente, el primer término es el mayor: \(a_1=\dfrac{1}{2}.\) Todos los términos son positivos, pues \(n>0\) y \(n^2+1>0.\) Además, tienden a 0 cuando \(n→\infty\) porque el denominador crece más rápido que el numerador. Por tanto, la sucesión está acotada inferiormente por 0 (sin alcanzarlo nunca) y superiormente por \(\dfrac{1}{2}.\) Concluimos que la sucesión está acotada, con \(0<a_n ≤ \dfrac{1}{2}.\)

Analizamos la sucesión \(a_n=n(-1)^n.\)

Escribimos los primeros términos:

\(a_1=1\cdot (-1)^1=-1\)

\(a_2=2\cdot (-1)^2=2\)

\(a_3=3\cdot (-1)^3=-3\)

\(a_4=4\cdot (-1)^4=4\)

\(a_5=5\cdot (-1)^5=-5\)

Observamos que los términos alternan el signo: los de índice impar son negativos y los de índice par son positivos. Además, los valores absolutos crecen linealmente: \(|a_n|=n.\) Al alternar signo, la sucesión no es creciente ni decreciente. Por tanto, la sucesión es no monótona.

Respecto a la acotación, los valores absolutos son \(|a_n|=n,\) que crecen sin límite cuando \(n\) aumenta. Así, la sucesión no está acotada superiormente (los términos pares se hacen arbitrariamente grandes) ni inferiormente (los términos impares se hacen arbitrariamente grandes en valor absoluto pero negativos). Concluimos que la sucesión no está acotada.

Consideramos \(a_n=\dfrac{2n-3}{3n+4}.\)

Para analizar la monotonía, podemos estudiar la diferencia \(a_{n+1}-a_n\) o el comportamiento asintótico. También podemos observar la función asociada \(f(x)=\dfrac{2x-3}{3x+4}\) para \(x≥ 1.\)

Calculamos algunos términos:

\(a_1=\dfrac{2-3}{3+4}=\dfrac{-1}{7}≈-0,1429\)

\(a_2=\dfrac{4-3}{6+4}=\dfrac{1}{10}=0,1\)

\(a_3=\dfrac{6-3}{9+4}=\dfrac{3}{13}≈0,2308\)

\(a_4=\dfrac{8-3}{12+4}=\dfrac{5}{16}=0,3125\)

\(a_5=\dfrac{10-3}{15+4}=\dfrac{7}{19}≈0,3684\)

Observamos que los términos aumentan: \(-0,1429<0,1<0,2308<0,3125<0,3684.\) Para confirmar, calculamos \(a_{n+1}-a_n:\)

\(a_{n+1}-a_n=\dfrac{2(n+1)-3}{3(n+1)+4}-\dfrac{2n-3}{3n+4}=\dfrac{2n-1}{3n+7}-\dfrac{2n-3}{3n+4}\)

Ponemos común denominador \((3n+7)(3n+4)\) y simplificamos el numerador:

\((2n-1)(3n+4)-(2n-3)(3n+7)=[6n^2+8n-3n-4]-[6n^2+14n-9n-21]=(6n^2+5n-4)-(6n^2+5n-21)=-4+21=17\)

Como \(17>0\) y el denominador \((3n+7)(3n+4)\) es positivo para \(n≥ 1,\) tenemos \(a_{n+1}-a_n>0.\) Así, la sucesión es creciente (estrictamente).

Para la acotación, observamos que cuando \(n\) crece, \(a_n\) se aproxima a \(\dfrac{2}{3}\) (cociente de los coeficientes directores). Siendo creciente, el primer término es el menor: \(a_1=-\dfrac{1}{7}.\) Todos los términos son menores que \(\dfrac{2}{3}\) y se acercan a este valor sin superarlo. Por tanto, la sucesión está acotada inferiormente por \(-\dfrac{1}{7}\) y superiormente por \(\dfrac{2}{3}\) (aunque no alcanza este último, es una cota). Concluimos que la sucesión está acotada, con \(-\dfrac{1}{7} ≤ a_n<\dfrac{2}{3}.\)

Estudiamos \(a_n=n e^{-n}=\dfrac{n}{e^n}.\) Para determinar la monotonía, analizamos la función asociada \(f(x)=x e^{-x}\) para \(x≥ 1.\) Calculamos su derivada:

\(f'(x)=e^{-x}+x(-e^{-x})=e^{-x}(1-x)\)

Para \(x>1,\) \(f'(x)<0,\) lo que indica que la función es decreciente a partir de \(x=1.\) Por tanto, la sucesión es decreciente para \(n≥ 1.\) Verificamos con los primeros términos:

\(a_1=1\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}≈0,3679\)

\(a_2=2 e^{-2}=\dfrac{2}{e^2}≈0,2707\)

\(a_3=3 e^{-3}=\dfrac{3}{e^3}≈0,1494\)

\(a_4=4 e^{-4}≈0,0733\)

\(a_5=5 e^{-5}≈0,0337\)

Efectivamente, los términos decrecen: \(a_1>a_2>a_3>\ldots\) Así, la sucesión es decreciente (estrictamente).

En cuanto a la acotación, al ser decreciente, el primer término es el mayor: \(a_1=\dfrac{1}{e}.\) Todos los términos son positivos. Además, cuando \(n→\infty,\) \(a_n→0\) porque la exponencial crece más rápido que \(n.\) Por tanto, la sucesión está acotada inferiormente por 0 (sin alcanzarlo) y superiormente por \(\dfrac{1}{e}.\) Concluimos que la sucesión está acotada, con \(0<a_n ≤ \dfrac{1}{e}.\)

Analizamos la sucesión \(a_n=\dfrac{2^n}{n!}.\)

Para estudiar su monotonía, calculamos el cociente entre un término y el anterior, ya que al tratarse de factoriales y potencias esta expresión suele simplificarse bien.

\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \dfrac{n!}{2^n}=\dfrac{2}{n+1}\)

Observamos que este cociente es menor que 1 cuando \(n+1>2,\) es decir, cuando \(n>1,\) esto nos indica que la sucesión es decreciente, pues si \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1,\) entonces \(a_{n+1}<a_n\) cuando \(n>1.\)

Calculemos los primeros términos para confirmar:

\(a_1=\dfrac{2^1}{1!}=2\)

\(a_2=\dfrac{4}{2}=2\)

\(a_3=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}≈1,333\)

\(a_4=\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}≈0,667\)

\(a_5=\dfrac{32}{120}=\dfrac{4}{15}≈0,267\)

Vemos que \(a_1=a_2\) y a partir de \(a_2\) los términos decrecen estrictamente: \(a_2>a_3>a_4>\ldots\) Por tanto, la sucesión es decreciente en sentido amplio.

Para la acotación, el valor más grande se alcanza en los dos primeros términos: \(a_1=a_2=2.\) Todos los términos son positivos y tienden a 0 cuando \(n\) crece, porque el factorial crece más rápido que la potencia. Así, la sucesión está acotada inferiormente por 0 (sin alcanzarlo) y superiormente por 2. Concluimos que la sucesión está acotada, con \(0<a_n ≤ 2.\)

Consideramos \(a_n=n+\dfrac{1}{n}.\) Para estudiar la monotonía, analizamos la diferencia entre términos consecutivos:

\(a_{n+1}-a_n=\left(n+1+\dfrac{1}{n+1}\right)-\left(n+\dfrac{1}{n}\right)=1+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}\)

Simplificamos la parte fraccionaria: \(\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{n-(n+1)}{n(n+1)}=-\dfrac{1}{n(n+1)}.\) Por tanto,

\(a_{n+1}-a_n=1-\dfrac{1}{n(n+1)}\)

Para \(n ≥ 1,\) \(n(n+1) ≥ 2,\) luego \(\dfrac{1}{n(n+1)} ≤ \dfrac{1}{2}<1.\) Así, la diferencia es positiva: \(a_{n+1}-a_n>0\) para todo \(n.\) Esto significa que la sucesión es creciente (estrictamente).

Verificamos con los primeros términos:

\(a_1=1+1=2\)

\(a_2=2+\dfrac{1}{2}=2,5\)

\(a_3=3+\dfrac{1}{3}≈3,333\)

\(a_4=4+\dfrac{1}{4}=4,25\)

\(a_5=5+\dfrac{1}{5}=5,2\)

Efectivamente, los términos aumentan.

En cuanto a la acotación, al ser creciente, el primer término es el menor: \(a_1=2.\) Cuando \(n\) crece, \(a_n\) se hace arbitrariamente grande porque el término \(n\) domina. Por tanto, no hay cota superior. La sucesión está acotada inferiormente por 2, pero no está acotada superiormente.

Estudiamos \(a_n=\dfrac{n}{2^{n+2}}.\) Podemos reescribirla como:

\(a_n=\dfrac{n}{4\cdot 2^n}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{n}{2^n}\)

Para analizar la monotonía, consideramos el cociente \(a_{n+1}/a_n:\)

\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+1}{2^{(n+1)+2}}\cdot \dfrac{2^{n+2}}{n}=\dfrac{n+1}{n}\cdot \dfrac{2^{n+2}}{2^{n+3}}=\dfrac{n+1}{n}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{n+1}{2n}\)

Este cociente es menor que 1 cuando \(\dfrac{n+1}{2n}<1,\) es decir, \(n+1<2n,\) lo que equivale a \(1<n.\) Para \(n=1,\) el cociente vale \(\dfrac{2}{2}=1,\) luego \(a_2=a_1.\) Para \(n ≥ 2,\) el cociente es menor que 1, por lo que a partir de \(n=2\) los términos decrecen. Calculemos algunos valores:

\(a_1=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}=0,125\)

\(a_2=\dfrac{2}{2^{4}}=\dfrac{2}{16}=0,125\)

\(a_3=\dfrac{3}{2^{5}}=\dfrac{3}{32}=0,09375\)

\(a_4=\dfrac{4}{2^{6}}=\dfrac{4}{64}=0,0625\)

\(a_5=\dfrac{5}{2^{7}}=\dfrac{5}{128}≈0,03906\)

Observamos que \(a_1=a_2\) y después decrece. Por tanto, la sucesión es decreciente en sentido amplio.

Para la acotación, el máximo valor se alcanza en los dos primeros términos: \(a_1=a_2=0,125.\) Todos los términos son positivos y tienden a 0 cuando \(n\) crece, pues el denominador exponencial crece más rápido que el numerador lineal. Así, la sucesión está acotada inferiormente por 0 y superiormente por 0,125. Concluimos que la sucesión está acotada, con \(0<a_n ≤ \dfrac{1}{8}.\)

Consideramos \(a_n=\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n.\) Escribimos los primeros términos para observar el comportamiento:

\(a_1=-\dfrac{2}{3}≈-0,667\)

\(a_2=\dfrac{4}{9}≈0,444\)

\(a_3=-\dfrac{8}{27}≈-0,296\)

\(a_4=\dfrac{16}{81}≈0,198\)

\(a_5=-\dfrac{32}{243}≈-0,132\)

Los términos alternan el signo: negativos para \(n\) impar, positivos para \(n\) par. Además, los valores absolutos forman una progresión geométrica de razón \(\dfrac{2}{3}:\) \(|a_n|=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n,\) que es decreciente. Al alternar signo, la sucesión no es creciente ni decreciente, pues por ejemplo \(a_1=-0,667<a_2=0,444,\) pero \(a_2=0,444>a_3=-0,296.\) No se cumple \(a_n ≤ a_{n+1}\) para todo \(n\) ni \(a_n ≥ a_{n+1}\) para todo \(n.\) Por tanto, es no monótona.

En cuanto a la acotación, los valores absolutos están acotados por \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^1=\dfrac{2}{3},\) y además tienden a 0 cuando \(n\) crece. Por tanto, todos los términos cumplen \(|a_n| ≤ \dfrac{2}{3}.\) Así, la sucesión está acotada inferiormente por \(-\dfrac{2}{3}\) y superiormente por \(\dfrac{2}{3}.\) Concluimos que la sucesión está acotada.

Analizamos \(a_n=\dfrac{\sin\sqrt{n}}{n}.\)

Para estudiar la monotonía, observamos que el numerador \(\sin\sqrt{n}\) oscila entre -1 y 1, tomando valores positivos y negativos de forma irregular, pues \(\sqrt{n}\) no es un múltiplo entero de \(\pi.\) Esto hace que la sucesión no sea monótona: no podemos asegurar que los términos crezcan o decrezcan sistemáticamente, ya que el signo y la magnitud del seno varían.

Para la acotación, usamos que \(|\sin\sqrt{n}| ≤ 1.\) Entonces:

\(|a_n|=\dfrac{|\sin\sqrt{n}|}{n} ≤ \dfrac{1}{n}\)

Como \(\dfrac{1}{n}\) tiende a 0 y está acotado por 1, tenemos que \(|a_n| ≤ 1\) para todo \(n,\) es decir, \(-1 ≤ a_n ≤ 1.\) La sucesión está acotada inferiormente por -1 y superiormente por 1. Concluimos que la sucesión está acotada.

Estudiamos la convergencia de la sucesión \(a_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-1.\)

Observamos que \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\) es una potencia con base menor que 1 y positiva. Cuando \(n\) crece indefinidamente, esta potencia tiende a 0:

\(\lim_{n→\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=0\)

Por tanto, el límite de \(a_n\) es:

\(\lim_{n→\infty} a_n=\lim_{n→\infty} \left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-1\right]=0-1=-1\)

Como el límite existe y es un número finito, la sucesión converge y su límite es \(-1.\)

Podemos verificar con algunos términos:

\(a_1=\dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{2}{3}≈-0,667\)

\(a_2=\dfrac{1}{9}-1=-\dfrac{8}{9}≈-0,889\)

\(a_3=\dfrac{1}{27}-1=-\dfrac{26}{27}≈-0,963\)

\(a_4=\dfrac{1}{81}-1=-\dfrac{80}{81}≈-0,988\)

Los términos se acercan cada vez más a \(-1.\)

Consideramos \(a_n=\dfrac{5}{n+2}.\)

Cuando \(n\) tiende a infinito, el denominador \(n+2\) crece sin límite, mientras que el numerador permanece constante. Por tanto, la fracción tiende a 0:

\(\lim_{n→\infty} \dfrac{5}{n+2}=0\)

El límite existe y es finito, así que la sucesión converge a \(0.\)

Estudiamos la convergencia de la sucesión \(a_n=4-\dfrac{3}{n}.\)

Cuando \(n\) crece indefinidamente, el término \(\dfrac{3}{n}\) se hace cada vez más pequeño, tendiendo a 0:

\(\lim_{n→\infty} \dfrac{3}{n}=0\)

Por tanto, el límite de \(a_n\) es:

\(\lim_{n→\infty} a_n=\lim_{n→\infty} \left(4-\dfrac{3}{n}\right)=4-0=4\)

El límite existe y es un número finito, así que la sucesión converge y su límite es \(4.\)

Podemos observar algunos términos para confirmar la tendencia:

\(a_1=4-3=1\)

\(a_2=4-\dfrac{3}{2}=4-1,5=2,5\)

\(a_3=4-1=3\)

\(a_4=4-\dfrac{3}{4}=4-0,75=3,25\)

\(a_5=4-\dfrac{3}{5}=4-0,6=3,4\)

Los términos aumentan acercándose a 4 desde abajo.

Consideramos \(a_n=\dfrac{2}{n!}.\)

El factorial \(n!\) crece muy rápidamente cuando \(n\) aumenta. Para \(n\) grande, \(n!\) se hace arbitrariamente grande, por lo que su inverso tiende a 0:

\(\lim_{n→\infty} \dfrac{2}{n!}=0\)

El límite existe y es finito, luego la sucesión converge a \(0.\)

Observamos los primeros términos:

\(a_1=\dfrac{2}{1!}=2\)

\(a_2=\dfrac{2}{2!}=\dfrac{2}{2}=1\)

\(a_3=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}≈0,333\)

\(a_4=\dfrac{2}{24}=\dfrac{1}{12}≈0,0833\)

\(a_5=\dfrac{2}{120}=\dfrac{1}{60}≈0,0167\)

Efectivamente, los términos decrecen rápidamente hacia 0.

Analizamos la sucesión \(a_n=(-1)^n \dfrac{n}{n+1}.\)

El factor \((-1)^n\) hace que los términos alternen el signo: positivos para \(n\) par, negativos para \(n\) impar. Estudiamos por separado el comportamiento de la fracción \(\dfrac{n}{n+1}.\) Para determinar su límite cuando \(n\) tiende a infinito, dividimos numerador y denominador por \(n,\) que es la máxima potencia presente:

\(\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{\dfrac{n}{n}}{\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}\)

Cuando \(n→\infty,\) el término \(\dfrac{1}{n}\) tiende a 0, por lo que:

\(\lim_{n→\infty} \dfrac{n}{n+1}=\lim_{n→\infty} \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}=\dfrac{1}{1+0}=1\)

Por tanto, la fracción \(\dfrac{n}{n+1}\) converge a 1. Ahora, al multiplicarla por \((-1)^n,\) los términos para \(n\) par se aproximan a \(1,\) mientras que los términos para \(n\) impar se aproximan a \(-1.\) Al acercarse a dos valores distintos, la sucesión no tiene un límite único.

Podemos escribir algunos términos para visualizarlo:

\(a_1=(-1)^1\cdot \dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}=-0,5\)

\(a_2=(-1)^2\cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}≈0,667\)

\(a_3=(-1)^3\cdot \dfrac{3}{4}=-\dfrac{3}{4}=-0,75\)

\(a_4=(-1)^4\cdot \dfrac{4}{5}=0,8\)

\(a_5=(-1)^5\cdot \dfrac{5}{6}≈-0,833\)

\(a_6=(-1)^6\cdot \dfrac{6}{7}≈0,857\)

Los términos pares se acercan a 1, los impares a \(-1.\) Como la sucesión oscila sin aproximarse a un único valor, concluimos que diverge (no tiene límite).

Estudiamos \(a_n=1+(-1)^n.\)

El término \((-1)^n\) vale 1 cuando \(n\) es par y \(-1\) cuando \(n\) es impar. Por tanto:

Si \(n\) es par: \(a_n=1+1=2.\)

Si \(n\) es impar: \(a_n=1-1=0.\)

La sucesión toma únicamente los valores 0 y 2, alternándolos:

\(a_1=0, a_2=2, a_3=0, a_4=2, a_5=0,\ldots\)

Al no acercarse a un único número (los términos oscilan constantemente entre 0 y 2), la sucesión no tiene límite. Por tanto, diverge.

Estudiamos la convergencia de la sucesión \(a_n=\dfrac{3^n}{4^n}.\)

Podemos reescribirla como una sola potencia:

\(a_n=\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\)

Observamos que la base \(\dfrac{3}{4}\) es un número positivo menor que 1. Cuando \(n\) crece indefinidamente, una potencia con base en el intervalo \((0,1)\) tiende a 0:

\(\lim_{n→\infty} \left(\dfrac{3}{4}\right)^n=0\)

Por tanto, el límite de \(a_n\) es 0. El límite existe y es finito, así que la sucesión converge a \(0.\)

Podemos verificar con algunos términos:

\(a_1=\dfrac{3}{4}=0,75\)

\(a_2=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16}=0,5625\)

\(a_3=\left(\dfrac{3}{4}\right)^3=\dfrac{27}{64}≈0,4219\)

\(a_4=\left(\dfrac{3}{4}\right)^4=\dfrac{81}{256}≈0,3164\)

\(a_5=\left(\dfrac{3}{4}\right)^5=\dfrac{243}{1024}≈0,2373\)

Los términos decrecen y se acercan a 0.

Consideramos la sucesión \(a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n.\)

Esta sucesión es muy conocida: cuando \(n\) tiende a infinito, sus términos se aproximan al número \(e,\) base de los logaritmos naturales. Podemos recordar que:

\(\lim_{n→\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e\)

El valor de \(e\) es aproximadamente \(2,71828\ldots\) Por tanto, la sucesión converge y su límite es \(e.\)

Observamos algunos términos para apreciar la tendencia:

\(a_1=(1+1)^1=2\)

\(a_2=\left(1+\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{9}{4}=2,25\)

\(a_3=\left(1+\dfrac{1}{3}\right)^3=\left(\dfrac{4}{3}\right)^3=\dfrac{64}{27}≈2,370\)

\(a_4=\left(1+\dfrac{1}{4}\right)^4=\left(\dfrac{5}{4}\right)^4=\dfrac{625}{256}≈2,441\)

\(a_5=\left(1+\dfrac{1}{5}\right)^5=\left(\dfrac{6}{5}\right)^5=\dfrac{7776}{3125}≈2,488\)

Los valores aumentan y se acercan a \(e≈2,718.\)

Analizamos \(a_n=\dfrac{\sin n}{n}.\)

Para determinar su convergencia, utilizamos que la función seno está acotada: \(|\sin n| ≤ 1\) para todo \(n.\) Entonces:

\(|a_n|=\dfrac{|\sin n|}{n} ≤ \dfrac{1}{n}\)

Cuando \(n\) tiende a infinito, \(\dfrac{1}{n}\) tiende a 0. Por el teorema del sandwich (o decompresión), como \(0 ≤ |a_n| ≤ \dfrac{1}{n}\) y \(\dfrac{1}{n}→0,\) concluimos que \(|a_n|→0,\) y por tanto \(a_n→0.\)

El límite existe y es finito, así que la sucesión converge a \(0.\)

Observamos algunos términos para ver el comportamiento, aunque el seno introduce oscilaciones:

\(a_1=\sin 1≈0,8415\)

\(a_2=\dfrac{\sin 2}{2}≈\dfrac{0,9093}{2}=0,4547\)

\(a_3=\dfrac{\sin 3}{3}≈\dfrac{0,1411}{3}=0,0470\)

\(a_4=\dfrac{\sin 4}{4}≈\dfrac{-0,7568}{4}=-0,1892\)

\(a_5=\dfrac{\sin 5}{5}≈\dfrac{-0,9589}{5}=-0,1918\)

A pesar de las oscilaciones, los valores se van haciendo más pequeños en magnitud.

Estudiamos \(a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.\)

Nos encontramos con una resta de dos términos que tienden a infinito, por lo que tenemos una indeterminación del tipo \(\infty-\infty.\) Para resolverla, multiplicamos y dividimos por el conjugado:

\(a_n=\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\cdot \dfrac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)

Ahora la expresión es más clara: cuando \(n\) crece, el denominador \(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\) tiende a infinito, por lo que la fracción tiende a 0:

\(\lim_{n→\infty} a_n=\lim_{n→\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0\)

El límite existe y es finito, así que la sucesión converge a \(0.\)

Observamos los primeros términos:

\(a_1=\sqrt{2}-1≈1,4142-1=0,4142\)

\(a_2=\sqrt{3}-\sqrt{2}≈1,7321-1,4142=0,3179\)

\(a_3=\sqrt{4}-\sqrt{3}=2-1,7321=0,2679\)

\(a_4=\sqrt{5}-\sqrt{4}≈2,2361-2=0,2361\)

\(a_5=\sqrt{6}-\sqrt{5}≈2,4495-2,2361=0,2134\)

Los términos positivos decrecen hacia 0.

En una progresión aritmética conocemos la diferencia \(d=5\) y el segundo término \(a_2=16.\) El término general de una progresión aritmética es \(a_n=a_1+(n-1)d.\) Primero debemos hallar el primer término \(a_1.\)

Sabemos que \(a_2=a_1+d.\) Sustituyendo los valores conocidos:

\(16=a_1+5→a_1=16-5=11\)

Ahora podemos escribir el término general:

\(a_n=11+(n-1)\cdot 5=11+5n-5=5n+6\)

Verificamos para \(n=2:\) \(a_2=5\cdot 2+6=10+6=16,\) que coincide con el dato. Por tanto, el término general es \(a_n=5n+6.\)

Sea el cuadrilátero con lados en progresión aritmética de diferencia \(d=6.\) Llamamos \(a_1\) al lado menor, entonces los lados son \(a_1,\) \(a_1+6,\) \(a_1+12\) y \(a_1+18.\)

El perímetro es la suma de los cuatro lados:

\(a_1+(a_1+6)+(a_1+12)+(a_1+18)=4a_1+(6+12+18)=4a_1+36\)

Igualamos al perímetro dado, 100 cm:

\(4a_1+36=100→4a_1=64→a_1=16\)

Por tanto, las longitudes de los lados son:

\(16, 22, 28, 34 \text{ cm}\)

El deportista corre durante 21 días (tres semanas). El primer día corre 15 minutos y cada día aumenta 5 minutos. Se trata de una progresión aritmética con primer término \(a_1=15\) y diferencia \(d=5.\)

El tiempo corrido el último día corresponde al término \(a_{21}.\) Usamos la fórmula del término general:

\(a_n=a_1+(n-1)d→a_{21}=15+(21-1)\cdot 5=15+20\cdot 5=15+100=115\)

Por tanto, el último día corrió 115 minutos, que equivalen a 1 hora y 55 minutos.

Observamos el crecimiento del tallo durante 15 días. El primer día mide \(a_1=10\) mm y el último día (día 15) mide \(a_{15}=80\) mm. Suponemos que el aumento diario es constante, es decir, los datos forman una progresión aritmética.

En una progresión aritmética, el término general es \(a_n=a_1+(n-1)d.\) Aplicamos para \(n=15:\)

\(a_{15}=a_1+14d→80=10+14d\)

Despejamos \(d:\)

\(80-10=14d→70=14d→d=\dfrac{70}{14}=5\)

Por tanto, el tallo creció 5 mm diarios.

Estudiamos la progresión geométrica 5, 15, 45, 135, 405,...

Para hallar la razón, dividimos un término entre el anterior:

\(r=\dfrac{15}{5}=3,\quad \dfrac{45}{15}=3,\quad \dfrac{135}{45}=3,\quad \dfrac{405}{135}=3\)

La razón es constante e igual a \(r=3.\) El primer término es \(a_1=5.\) El término general de una progresión geométrica es \(a_n=a_1\cdot r^{n-1}.\) Sustituyendo:

\(a_n=5\cdot 3^{n-1}\)

Verificamos para algunos valores: \(n=1\) da \(5\cdot 3^0=5;\) \(n=2\) da \(5\cdot 3^1=15;\) \(n=3\) da \(5\cdot 3^2=45;\) correcto.

En cuanto a la monotonía, observamos que todos los términos son positivos y la razón es \(r=3>1.\) En una progresión geométrica con términos positivos y razón mayor que 1, los términos crecen indefinidamente. Por tanto, la sucesión es creciente (estrictamente).

Consideramos la progresión -2, -4, -8, -16, -32,...

Calculamos la razón dividiendo un término entre el anterior:

\(r=\dfrac{-4}{-2}=2,\quad \dfrac{-8}{-4}=2,\quad \dfrac{-16}{-8}=2,\quad \dfrac{-32}{-16}=2\)

La razón es \(r=2.\) El primer término es \(a_1=-2.\) El término general es:

\(a_n=a_1\cdot r^{n-1}=-2\cdot 2^{n-1}\)

Podemos simplificar: \(a_n=-2^n.\) Verificamos: para \(n=1,\) \(-2^1=-2;\) para \(n=2,\) \(-2^2=-4;\) para \(n=3,\) \(-2^3=-8;\) correcto.

Para analizar la monotonía, observamos que los términos son todos negativos y la razón es \(r=2>1.\) Al multiplicar un número negativo por una razón mayor que 1, obtenemos otro número negativo de mayor valor absoluto, pero más negativo. Por ejemplo, \(-2,-4,-8, \ldots\) Cada término es menor que el anterior (en el orden de los números reales, \(-8<-4<-2\)). Por tanto, la sucesión es decreciente (estrictamente).

Estudiamos la progresión geométrica \(\dfrac{2}{3}, 2, 6, 18, \ldots\)

Para hallar la razón, dividimos un término entre el anterior:

\(r=\dfrac{2}{\dfrac{2}{3}}=2\cdot \dfrac{3}{2}=3,\quad \dfrac{6}{2}=3,\quad \dfrac{18}{6}=3\)

La razón es constante e igual a \(r=3.\) El primer término es \(a_1=\dfrac{2}{3}.\) El término general de una progresión geométrica es \(a_n=a_1\cdot r^{n-1}.\) Sustituyendo:

\(a_n=\dfrac{2}{3}\cdot 3^{n-1}\)

Podemos simplificar: \(a_n=2\cdot 3^{n-2}.\) Verificamos para algunos valores:

\(n=1\) da \(\dfrac{2}{3}\cdot 3^{0}=\dfrac{2}{3}\)

\(n=2\) da \(\dfrac{2}{3}\cdot 3^{1}=2\)

\(n=3\) da \(\dfrac{2}{3}\cdot 3^{2}=\dfrac{2}{3}\cdot 9=6;\) correcto.

En cuanto a la monotonía, observamos que todos los términos son positivos y la razón es \(r=3>1.\) En una progresión geométrica con términos positivos y razón mayor que 1, los términos crecen indefinidamente. Por tanto, la sucesión es creciente (estrictamente).

Las cantidades mensuales forman una progresión geométrica con primer término \(a_1=120\) y razón \(r=2\)

Queremos saber cuánto tiene después de cuatro meses, es decir, la suma de lo ahorrado durante esos cuatro meses. La suma de los primeros \(n\) términos de una progresión geométrica es:

\(S_n=a_1 \dfrac{r^n-1}{r-1}, \quad \text{para } r ≠ 1\)

Aplicamos con \(n=4:\)

\(S_4=120\cdot \dfrac{2^4-1}{2-1}=120\cdot (16-1)=120\cdot 15=1800\)

Por tanto, después de cuatro meses María tiene $1800.

La bacteria se reproduce por bipartición cada media hora. Esto significa que cada 30 minutos el número de bacterias se duplica. Comenzamos con 100 bacterias iniciales. Después de 3 horas, calculamos cuántos períodos de media hora han transcurrido.

3 horas equivalen a \(3 \times 60=180\) minutos. Dividimos entre 30:

\(\dfrac{180}{30}=6 \text{ períodos}\)

Cada período la cantidad se multiplica por 2. Por tanto, al cabo de 6 períodos, el número de bacterias es:

\(N=100\cdot 2^{6}=100\cdot 64=6400\)

Por tanto, después de 3 horas habrá 6400 bacterias.

El material radioactivo pierde un 0,1% de su masa cada año. Esto significa que cada año retiene el 99,9% de la masa del año anterior. La masa sigue una progresión geométrica con razón \(r=1-0,001=0,999.\) La masa inicial es \(a_0=340\) g (consideramos \(a_0\) como la masa en el instante inicial, luego \(a_1\) sería la masa después de 1 año).

Después de \(n\) años, la masa es:

\(a_n=a_0\cdot r^n=340\cdot (0,999)^{100}≈340 \cdot 0,9048=307,632\)

Por tanto, dentro de 100 años la masa será aproximadamente de 307,63 g.

Condiciones del problema:

• Cada mes, cada par de conejos productivo (edad ≥ 2 meses) produce un nuevo par.
• Los conejos viven para siempre.
• Empezamos con un par recién nacido (0 meses de edad) en el mes 1.

Construimos una tabla mes a mes.

En la tabla vemos que el décimo mes tendremos 55 pares de conejos. También observamos que a partir del tercer mes, cada término se obtiene sumando los dos anteriores:

2 = 1 + 1

3 = 2 + 1

5 = 3 + 2

8 = 5 + 3

13 = 8 + 5

…

Esta es la conocida sucesión de Fibonacci, definida por \(F_1=1,\) \(F_2=1\) y \(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\) para \(n ≥ 3.\) El décimo término es \(F_{10}=55.\) De hecho, este mismo problema fue el que dio origen a la sucesión.

a) Primeros cinco términos

Calculamos directamente, manteniendo las expresiones radicales y también aproximaciones decimales para visualizar la tendencia.

\(a_1=\sqrt{2}≈1,4142\)

\(a_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}≈1,8478\)

\(a_3=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}≈1,9616\)

\(a_4=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}≈1,9904\)

\(a_5=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}≈1,9976\)

Observamos que los términos aumentan y se acercan a 2.

b) Fórmula de recurrencia

Observamos la construcción: cada término a partir del segundo se obtiene sumando 2 al término anterior y tomando raíz cuadrada. Es decir, dado \(a_1=\sqrt{2},\) para \(n ≥ 2\) se tiene:

\(a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}\)

Esta es la relación de recurrencia que define la sucesión.

c) Límite de la sucesión

Supongamos que la sucesión converge a un límite \(L.\) Entonces, cuando \(n\) tiende a infinito, \(a_n\) y \(a_{n-1}\) tienden ambas a \(L.\) Aplicando la recurrencia en el límite:

\(L=\sqrt{2+L}\)

Elevamos al cuadrado ambos miembros (teniendo en cuenta que \(L\) debe ser positivo por ser límite de términos positivos):

\(L^2=2+L→L^2-L-2=0\)

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

\(L=\dfrac{1±\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1±3}{2}\)

Las soluciones son \(L=\dfrac{1+3}{2}=2\) y \(L=\dfrac{1-3}{2}=-1.\) Descartamos \(L=-1\) por ser negativo (la sucesión es de términos positivos). Por tanto, el límite es \(L=2.\) Esto coincide con las aproximaciones de los términos calculados. Concluimos que la sucesión converge y su límite es 2.

Sabemos que \(F_{n+1}=F_n+F_{n-1}.\) Dividimos ambos miembros entre \(F_n:\)

\(\dfrac{F_{n+1}}{F_n}=1+\dfrac{F_{n-1}}{F_n}\)

Pero \(\dfrac{F_{n-1}}{F_n}=\dfrac{1}{F_n / F_{n-1}}=\dfrac{1}{a_{n-1}}.\) Por tanto:

\(a_n=1+\dfrac{1}{a_{n-1}}\)

Esta es la relación de recurrencia para \(a_n,\) válida para \(n ≥ 2.\)

Para estudiar la monotonía y acotación, primero calculamos los primeros términos:

\(a_1=\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{1}{1}=1\)

\(a_2=\dfrac{F_3}{F_2}=\dfrac{2}{1}=2\)

\(a_3=\dfrac{F_4}{F_3}=\dfrac{3}{2}=1,5\)

\(a_4=\dfrac{F_5}{F_4}=\dfrac{5}{3}≈1,6667\)

\(a_5=\dfrac{F_6}{F_5}=\dfrac{8}{5}=1,6\)

\(a_6=\dfrac{F_7}{F_6}=\dfrac{13}{8}=1,625\)

Observamos que la sucesión oscila alrededor de un valor, pero parece que se estabiliza. Se puede demostrar que \(a_n\) está acotada entre 1 y 2 (por ejemplo, por inducción) y que es una sucesión que alterna: \(a_{2k}\) decrece, \(a_{2k+1}\) crece, y ambas subsucesiones convergen al mismo límite.

Cálculo del límite

Supongamos que \(\lim_{n→\infty} a_n=L.\) Aplicamos el límite a la recurrencia \(a_n=1+\dfrac{1}{a_{n-1}}:\)

\(L=1+\dfrac{1}{L}\)

Multiplicamos por \(L:\)

\(L^2=L+1→L^2-L-1=0\)

Resolvemos:

\(L=\dfrac{1±\sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{1±\sqrt{5}}{2}\)

Como \(a_n>0,\) tomamos la raíz positiva:

\(L=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)

Este número es la conocida razón áurea \(\varphi≈1,6180,\) muy presente en la naturaleza y en la arquitectura, entre otros contextos.

a) Necesitamos modelar el crecimiento del dinero mediante interés compuesto. El depósito inicial es 2000 dólares y la tasa anual es del 2,4%, pero como se capitaliza mensualmente debemos trabajar con la tasa mensual. Dividimos la tasa anual entre 12: 2,4% / 12 = 0,2% mensual, que en forma decimal es 0,002. Cada mes el capital se multiplica por 1 + 0,002 = 1,002. Después de n meses, la cantidad acumulada es:

\(A_n=2000\cdot (1,002)^n\)

Esta es la fórmula buscada.

b) Ahora calculamos la cantidad después de 3 años, que equivalen a \(n=36\) meses:

\(A_{36}=2000\cdot (1,002)^{36}≈2000\cdot 1,0746=2149,20\)

Por lo tanto, después de 3 años hay unos \(2149,20\) dólares.

La población inicial en 2004 es 35 000 y crece un 2% anual. Un aumento del 2% significa multiplicar por \(1+\dfrac{2}{100}=1,02\) cada año. Si n representa los años transcurridos desde 2004, la población al cabo de n años es:

\(P_n=35\,000\cdot (1,02)^n\)

Para 2024 han pasado n = 2024 - 2004 = 20 años. Sustituimos:

\(P_{20}=35\,000\cdot (1,02)^{20}≈35\,000\cdot 1,4859=52\,006,50\)

La población estimada en 2024 es de 52 007 habitantes.

a) El precio medio actual del automóvil es 25 000 dólares y la inflación anual es del 5%, lo que significa que cada año el precio se multiplica por 1,05. Después de n años, el precio medio será:

\(P_n=25\,000\cdot (1,05)^n\)

b) Para los próximos 5 años, calculamos P₁, P₂, P₃, P₄, P₅:

\(P_1=25\,000\cdot (1,05)^1=26\,250\)

\(P_2=25\,000\cdot (1,05)^2=27\,562,50\)

\(P_3=25\,000\cdot (1,05)^3≈28\,940,63\)

\(P_4=25\,000\cdot (1,05)^4≈30\,387,66\)

\(P_5=25\,000\cdot (1,05)^5≈31\,907,04\)

a) El gasto inicial del programa es 4,5 mil millones de dólares y se reduce un 20% anual. Una reducción del 20% significa que cada año se conserva el 80% del año anterior, es decir, se multiplica por 0,8. Después de n años, el presupuesto será:

\(G_n=4,5\cdot (0,8)^n \quad \text{(en miles de millones de dólares)}\)

b) Tomando \(G_0=4,5\) como el gasto actual, calculamos los primeros 4 años:

\(G_1=4,5\cdot 0,8=3,6\)

\(G_2=4,5\cdot (0,8)^2=2,88\)

\(G_3=4,5\cdot (0,8)^3=2,304\)

\(G_4=4,5\cdot (0,8)^4=1,8432\)

Estos valores están en miles de millones de dólares.

c) La sucesión es geométrica con razón r = 0,8, que tiene valor absoluto menor que 1, por lo tanto la sucesión converge a 0. El límite cuando \(n → ∞\) es:

\(\lim_{n→\infty} G_n=\lim_{n→\infty} 4,5\cdot (0,8)^n=0\)

Es decir, el presupuesto tiende a cero con el paso de los años.

Analizamos las dos ofertas por separado. En la primera, el sueldo inicial es 1000 dólares y aumenta 100 dólares cada año. Esto corresponde a una progresión aritmética. El sueldo después de n años es:

\(S_n^{\text{(arit)}}=1000+100n\)

Para n = 10:

\(S_{10}^{\text{(arit)}}=1000+100\cdot 10=2000\)

En la segunda oferta, el sueldo inicial es también 1000 pero aumenta un 10% anual, lo que significa una progresión geométrica con razón 1,10. El sueldo después de n años es:

\(S_n^{\text{(geom)}}=1000\cdot (1,1)^n\)

Para n = 10:

\(S_{10}^{\text{(geom)}}=1000\cdot (1,1)^{10}≈2593,74\)

Comparando ambos resultados, el sueldo con aumento del 10% anual (2593,74 dólares) es superior al sueldo con aumento fijo de 100 dólares anuales (2000 dólares). Por tanto, a largo plazo resulta mejor la opción del aumento porcentual.