Término general de una sucesión

Solución 1

Para calcular el término general de la sucesión dada 3, 8, 13, 18, 23, …, primero observamos la diferencia entre términos consecutivos. Al restar cada término con su anterior, obtenemos:

*8-3=5*

*13-8=5*

*18-13=5*

*23-18=5*

Vemos que la diferencia es constante e igual a 5, lo que indica que se trata de una sucesión aritmética.

En una sucesión aritmética, el término general *a_n* se expresa como:

*a_n=a_1+(n-1) \cdot d*

donde *a_1* es el primer término y *d* es la diferencia común. En este caso, *a_1=3* y *d=5.* Sustituyendo estos valores, obtenemos:

*a_n=3+(n-1) \cdot 5*

Simplificando la expresión:

*a_n=3+5n-5*

*a_n=5n-2*

Para verificar la fórmula, probamos con los primeros cuatro términos:

Para *n=1*: *a_1=5(1)-2=3*

Para *n=2*: *a_2=5(2)-2=8*

Para *n=3*: *a_3=5(3)-2=13*

Para *n=4*: *a_4=5(4)-2=18* 

La fórmula *a_n=5n-2* genera correctamente los términos de la sucesión.

Solución 2

En la secuencia -3, -1, 1, 3, 5, 7, … comenzamos analizando las diferencias entre términos consecutivos. Al restar cada término con su anterior, obtenemos:

*-1-(-3)=2, \quad 1-(-1)=2, \quad 3-1=2, \quad 5-3=2, \quad 7-5=2*

La diferencia es constante e igual a *2,* lo que confirma que es una sucesión aritmética.

En una sucesión aritmética, el término general *a_n* se expresa como:

*a_n=a_1+(n-1) \cdot d*

donde *a_1* es el primer término y *d* es la diferencia común. En este caso, *a_1=-3* y *d=2.* Sustituyendo estos valores, obtenemos:

*a_n=-3+(n-1) \cdot 2*

Simplificando la expresión:

*a_n=-3+2n-2=2n-5*

Para verificar la fórmula, probamos con los primeros cuatro términos:

Para *n=1*: *a_1=2(1)-5=-3,*

Para *n=2*: *a_2=2(2)-5=-1,*

Para *n=3*: *a_3=2(3)-5=1,*

Para *n=4*: *a_4=2(4)-5=3.*

La fórmula *a_n=2n-5* genera correctamente los términos de la sucesión.

Solución 3

La sucesión 1, -1, 1, -1, … alterna entre 1 y -1. Este comportamiento periódico sugiere una dependencia de *(-1)^{n+1}* o similar.

Proponemos el término general:

*a_n=(-1)^{n+1}*

Verificación:

Para *n=1*: *a_1=(-1)^{2}=1*

Para *n=2*: *a_2=(-1)^{3}=-1*

Para *n=3*: *a_3=(-1)^{4}=1*

La fórmula *a_n=(-1)^{n+1}* reproduce la sucesión.

Solución 4

La sucesión 1, 2, 4, 8, 16, … muestra que cada término es el doble del anterior. Esto indica una progresión geométrica con razón *r=2.*

El término general de una sucesión geométrica es:

*a_n=a_1 \cdot r^{n-1}*

Con *a_1=1* y *r=2:*

*a_n=1 \cdot 2^{n-1}=2^{n-1}*

Verificación:

Para *n=1*: *a_1=2^{0}=1*

Para *n=2*: *a_2=2^{1}=2*

Para *n=3*: *a_3=2^{2}=4*

La fórmula *a_n=2^{n-1}* es válida.

Solución 5

La sucesión 5, 15, 45, 135, … evidencia que cada término se multiplica por 3 respecto al anterior (*r=3*). Es una progresión geométrica.

Aplicando la fórmula *a_n=a_1 \cdot r^{n-1},* con *a_1=5* y *r=3:*

*a_n=5 \cdot 3^{n-1}*

Verificación:

Para *n=1*: *a_1=5 \cdot 3^{0}=5*

Para *n=2*: *a_2=5 \cdot 3^{1}=15*

Para *n=3*: *a_3=5 \cdot 3^{2}=45*

La fórmula *a_n=5 \cdot 3^{n-1}* es correcta.

Solución 6

La sucesión -2, 4, -8, 16, … combina un cambio de signo alternado con una duplicación en valor absoluto. Esto sugiere una progresión geométrica con razón *r=-2.*

Usando *a_n=a_1 \cdot r^{n-1},* con *a_1=-2* y *r=-2:*

*a_n=-2 \cdot (-2)^{n-1}*

Simplificando:

*a_n=(-2)^1 \cdot (-2)^{n-1}=(-2)^n*

Verificación:

Para *n=1*: *a_1=(-2)^1=-2*

Para *n=2*: *a_2=(-2)^2=4*

Para *n=3*: *a_3=(-2)^3=-8*

La fórmula *a_n=(-2)^n* describe la sucesión.

Solución 7

La sucesión dada es 1, 4, 9, 16, ... Observamos que estos términos corresponden a los cuadrados de los números naturales:

*1=1^2, \quad 4=2^2, \quad 9=3^2, \quad 16=4^2*

Por lo tanto, el término general *a_n* se puede expresar como:

*a_n=n^2*

Verificamos la fórmula con los primeros términos:

Para *n=1*: *a_1=1^2=1,*

Para *n=2*: *a_2=2^2=4,*

Para *n=3*: *a_3=3^2=9.*

La fórmula *a_n=n^2* genera correctamente la sucesión.

Solución 8

La sucesión 1, 3, 6, 10, ... presenta diferencias consecutivas no constantes pero con un patrón reconocible. Calculamos las diferencias entre términos:

*3-1=2, \quad 6-3=3, \quad 10-6=4*

Las diferencias aumentan en *1* cada vez, lo que sugiere una relación con los números triangulares. El término general de los números triangulares es:

*a_n=\dfrac{n(n+1)}{2}*

Verificamos la fórmula:

Para *n=1*: *a_1=\dfrac{1 \cdot 2}{2}=1,*

Para *n=2*: *a_2=\dfrac{2 \cdot 3}{2}=3,*

Para *n=3*: *a_3=\dfrac{3 \cdot 4}{2}=6.*

La fórmula *a_n=\dfrac{n(n+1)}{2}* es correcta.

Solución 9

La sucesión 1, 8, 27, 64, ... está formada por los cubos de los números naturales:

*1=1^3, \quad 8=2^3, \quad 27=3^3, \quad 64=4^3*

Así, el término general es:

*a_n=n^3*

Comprobamos:

Para *n=1*: *a_1=1^3=1,*

Para *n=2*: *a_2=2^3=8,*

Para *n=3*: *a_3=3^3=27.*

La fórmula *a_n=n^3* reproduce la sucesión.

Solución 10

La sucesión negativa -2, -5, -10, -17, ... muestra términos que siguen un patrón cuadrático. Analizamos su comportamiento:

*-2=-(1^2+1)*

*-5=-(2^2+1)*

*-10=-(3^2+1)*

*-17=-(4^2+1)*

Esto sugiere que el término general es:

*a_n=-(n^2+1)*

Verificación:

Para *n=1*: *a_1=-(1+1)=-2,*

Para *n=2*: *a_2=-(4+1)=-5,*

Para *n=3*: *a_3=-(9+1)=-10.*

La fórmula *a_n=-(n^2+1)* es válida.

Solución 11

La sucesión 2, 6, 12, 20, ... presenta el producto de números enteros consecutivos. Observamos:

*2=1 \times 2*

*6=2 \times 3*

*12=3 \times 4*

*20=4 \times 5*

Por lo tanto, el término general es:

*a_n=n(n+1)*

Comprobamos:

Para *n=1*: *a_1=1 \times 2=2,*

Para *n=2*: *a_2=2 \times 3=6,*

Para *n=3*: *a_3=3 \times 4=12.*

La fórmula *a_n=n(n+1)* genera la sucesión correctamente.

Solución 12

La sucesión 0, 3, 8, 15, ... puede analizarse restando cada término con su anterior:

*3-0=3, \quad 8-3=5, \quad 15-8=7*

Las diferencias son *3, 5, 7, ...,* una sucesión aritmética con diferencia *2.* Esto sugiere una relación cuadrática. Observamos que los términos coinciden con *n^2-1:*

*0=1^2-1, \quad 3=2^2-1, \quad 8=3^2-1, \quad 15=4^2-1*

Por lo tanto, el término general es:

*a_n=n^2-1*

Verificación:

Para *n=1*: *a_1=1-1=0,*

Para *n=2*: *a_2=4-1=3,*

Para *n=3*: *a_3=9-1=8.*

La fórmula *a_n=n^2-1* es correcta.

Solución 13

La sucesión 5, 10, 17, 26, 37, ... muestra diferencias consecutivas crecientes:

*10-5=5, \quad 17-10=7, \quad 26-17=9, \quad 37-26=11*

Las diferencias (*5, 7, 9, 11, ...*) aumentan en *2,* lo que indica un comportamiento cuadrático. Buscamos un patrón similar a *n^2+\text{algo}.* Notamos que:

*5=2^2+1, \quad 10=3^2+1, \quad 17=4^2+1, \quad 26=5^2+1*

Por lo tanto, el término general es:

*a_n=(n+1)^2+1=n^2+2n+2*

Verificación:

Para *n=1*: *a_1=1+2+2=5,*

Para *n=2*: *a_2=4+4+2=10,*

Para *n=3*: *a_3=9+6+2=17.*

La fórmula *a_n=n^2+2n+2* genera la sucesión.

Solución 14

La sucesión 3, 6, 11, 18, ... tiene diferencias:

*6-3=3, \quad 11-6=5, \quad 18-11=7*

Las diferencias (*3, 5, 7, ...*) son impares consecutivos, lo que sugiere una relación cuadrática. Observamos que:

*3=1^2+2, \quad 6=2^2+2, \quad 11=3^2+2, \quad 18=4^2+2*

Así, el término general es:

*a_n=n^2+2*

Verificación:

Para *n=1*: *a_1=1+2=3,*

Para *n=2*: *a_2=4+2=6,*

Para *n=3*: *a_3=9+2=11.*

La fórmula *a_n=n^2+2* es válida.

Solución 15

La sucesión 1, 2, 4, 7, 11, ... tiene diferencias:

*2-1=1, \quad 4-2=2, \quad 7-4=3, \quad 11-7=4*

Las diferencias aumentan en *1,* lo que sugiere una relación cuadrática. Esta sucesión corresponde a los números triangulares desplazados:

*1=1, \quad 2=1+1, \quad 4=1+2+1, \quad 7=1+2+3+1*

El término general es:

*a_n=1+\dfrac{n(n-1)}{2}*

Verificación:

Para *n=1*: *a_1=1+0=1,*

Para *n=2*: *a_2=1+1=2,*

Para *n=3*: *a_3=1+3=4.*

La fórmula *a_n=1+\dfrac{n(n-1)}{2}* genera la sucesión.

Solución 1

Para hallar el término general de la sucesión dada *1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \ldots,* observamos que cada término parece ser una fracción cuyo numerador es siempre 1 y cuyo denominador sigue un patrón específico. 

Analizando los términos:

*a_1=1=\dfrac{1}{2^0}*

*a_2=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2^1}*

*a_3=\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2^2}*

*a_4=\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2^3}*

Se deduce que el denominador del n-ésimo término sigue la potencia de 2 con exponente *n-1.* Por lo tanto, el término general *a_n* de la sucesión puede expresarse como:

*a_n=\dfrac{1}{2^{n-1}}*

Se trata de una progresión geométrica decreciente de razón *\dfrac{1}{2}* y primer término *1.*

Solución 2

La sucesión dada es *\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{5}{6}, \dfrac{7}{8}, \ldots,* analizamos por separado los numeradores y denominadores.

Los numeradores son *1, 3, 5, 7, \ldots,* que corresponden a los números impares. El n-ésimo número impar puede expresarse como *2n-1.* Por otro lado, los denominadores son *2, 4, 6, 8, \ldots,* que son los números pares, y su n-ésimo término es *2n.*

Combinando ambas observaciones, el término general *a_n* de la sucesión queda definido como:

*a_n=\dfrac{2n-1}{2n}*

Solución 3

La sucesión dada es *1, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{7}, \dfrac{5}{9}, \ldots.* Al examinar los numeradores y denominadores por separado, identificamos lo siguiente:

Los numeradores siguen la secuencia *1, 2, 3, 4, 5, \ldots,* que claramente corresponde a *n.* Los denominadores son *1, 3, 5, 7, 9, \ldots,* los números impares, cuyo n-ésimo término es *2n-1.*

Por lo tanto, el término general *a_n* de esta sucesión es:

*a_n=\dfrac{n}{2n-1}*

Solución 4

La sucesión *0, \dfrac{1}{4}, \dfrac{2}{9}, \dfrac{3}{16}, \ldots* muestra un patrón donde los numeradores aumentan linealmente y los denominadores son cuadrados perfectos.

Los numeradores son *0, 1, 2, 3, \ldots,* que pueden expresarse como *n-1* (para *n \geq 1*). Los denominadores son *1, 4, 9, 16, \ldots,* es decir, los cuadrados de los números naturales: *n^2.*

Así, el término general *a_n* de esta sucesión está dado por:

*a_n=\dfrac{n-1}{n^2}*

Solución 5

La sucesión dada es *-1, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4},-\dfrac{1}{5}, \ldots.* Observamos que los términos alternan en signo y que los denominadores aumentan de manera lineal, mientras que los numeradores son siempre 1 (en valor absoluto).

Para expresar la alternancia de signos, utilizamos *(-1)^n.* El denominador del n-ésimo término es simplemente *n.* Por lo tanto, el término general *a_n* se puede escribir como:

*a_n=(-1)^n \cdot \dfrac{1}{n}*

Solución 6

La sucesión dada es *-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{5}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{5}{11}, \ldots.* Analizaremos por separado los numeradores y denominadores para encontrar el término general.

Los numeradores son *-1, 1, 3, 5, \ldots,* que corresponden a una progresión aritmética donde cada término aumenta en *2.* El primer término es *-1* y la diferencia común es *2,* por lo que el n-ésimo numerador puede expresarse como *2n-3* (para *n \geq 1*).

Los denominadores son *2, 5, 8, 11, \ldots,* otra progresión aritmética con primer término *2* y diferencia común *3.* Así, el n-ésimo denominador es *3n-1.*

Combinando ambas expresiones, el término general *a_n* de la sucesión es:

*a_n=\dfrac{2n-3}{3n-1}*

Solución 7

La sucesión dada es *\dfrac{3}{5},-\dfrac{4}{25}, \dfrac{5}{125},-\dfrac{6}{625}, \dfrac{7}{3125}, \ldots.* Observamos que los signos alternan entre positivo y negativo, y los numeradores y denominadores siguen patrones distintos.

Los numeradores son *3,-4, 5,-6, 7, \ldots.* Notamos que los valores absolutos aumentan en *1* y el signo alterna. Esto puede expresarse como *(-1)^{n+1} \cdot (n+2)* (para *n \geq 1*), donde *(-1)^{n+1}* maneja la alternancia.

Los denominadores son *5, 25, 125, 625, 3125, \ldots,* que son potencias de *5*: *5^1, 5^2, 5^3, \ldots.* Por lo tanto, el n-ésimo denominador es *5^n.*

Así, el término general *a_n* de la sucesión es:

*a_n=\dfrac{(-1)^{n+1} \cdot (n+2)}{5^n}*

Solución 8

La sucesión fraccionaria dada es *\dfrac{3}{4}, \dfrac{6}{9}, \dfrac{9}{16}, \dfrac{12}{25}, \dfrac{15}{36}, \dfrac{18}{49}, \ldots.* Analizaremos los numeradores y denominadores por separado para identificar el patrón.

La secuencia de numeradores es *3, 6, 9, 12, 15, 18, \ldots.* Observamos que cada término aumenta en *3,* lo que corresponde a una progresión aritmética con primer término *3* y diferencia común *3.* Por lo tanto, el n-ésimo numerador se expresa como *3n.*

Los denominadores son *4, 9, 16, 25, 36, 49, \ldots,* que son cuadrados perfectos de los números naturales empezando desde *2:*

*2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, \ldots*

Así, el n-ésimo denominador es *(n+1)^2.*

Combinando ambas expresiones, el término general *a_n* de la sucesión es:

*a_n=\dfrac{3n}{(n+1)^2}*

Verificación:

Para *n=1*: *\dfrac{3 \cdot 1}{(1+1)^2}=\dfrac{3}{4}.*

Para *n=2*: *\dfrac{6}{(2+1)^2}=\dfrac{6}{9}.*

Para *n=3*: *\dfrac{9}{16}.*

Para *n=4*: *\dfrac{12}{25}.*

Para *n=5*: *\dfrac{15}{36}.*

Para *n=6*: *\dfrac{18}{49}.*

Todos coinciden con los términos dados, confirmando que la fórmula es correcta.